Czerwiec CKE 2023

Arkusz maturalny (dodatkowy) z matematyki Czerwiec 2023 tutaj 
lub w formie prezentacji tutaj.

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)  

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj lub w jednym filmie —> tutaj

Zadanie 1 (0-1) Zad. 1 Czerwiec CKE 2023 Równania i nierówności

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność  |x + 5| < 15 jest 

A.    9                                 B.    10                                              C.    20                                           D.    21

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Rozwiązanie 

 

Zadanie 2 (0-1) Zad. 2 Czerwiec CKE 2023 Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x iloczyn \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x}     jest równy 

A.    x                                 B.    \sqrt[10]{x}                                              C.    \sqrt[18]{x}                                           D.    x^2

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Rozwiązanie 

 

Zadanie 3 (0-2) Zad. 3 Czerwiec CKE 2023 Wyrażenia algebraiczne Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej   k reszta z dzielenia liczby   49k^2 + 7k - 2 przez   7 jest równa   5.

Pokaż odpowiedź

DOWÓD   

Rozwiązanie 

Zadanie 4 (0-1) Zad. 4 Czerwiec CKE 2023 Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7 \% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się w lokacie. 

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa  

A.    2100 zł                                 B.    2247 zł                                              C.    4200 zł                                           D.    4347 zł 

Pokaż odpowiedź

ODP. D 

Rozwiązanie 

Zadanie 5 (0-1) Zad. 5 Czerwiec CKE 2023 Liczby rzeczywiste Logarytmy 

Liczba log_2 \frac{1}{8} + log_2 4 jest równa 

A.    (-1)                                 B.    \frac{1}{2}                                              C.    2                                           D.    5

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Rozwiązanie 

Zadanie 6 (0-1) Zad. 6 Czerwiec CKE 2023 Liczby rzeczywiste  Wzory skróconego mnożenia

Liczba   (1 + \sqrt{5})^2 - (1 - \sqrt{5})^2    jest równa 

A.    0                                 B.    (-10)                                              C.    4\sqrt{5}                                           D.    2 + 2\sqrt{5}

Pokaż odpowiedź

ODP. C 

Rozwiązanie 

Zadanie 7 (0-1) Zad. 7 Czerwiec CKE 2023 Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne

Dla każdej liczby rzeczywistej x   różnej od 0   i 2   wyrażenie \frac{x^2 + x}{(x-2)^2} \cdot \frac{x - 2}{x}   jest równe 

A.    \frac{x^2 + 1}{x - 2}                                 B.    \frac{x+1}{2}                                              C.    \frac{x^2}{(x-2)^2}                                           D.    \frac{x+1}{x-2}

Pokaż odpowiedź

ODP. D 

Rozwiązanie 

Zadanie 8 (0-2) Zad. 8 Czerwiec CKE 2023 Równania i nierówności 

Rozwiąż nierówność 

x(2x - 1) < 2x  

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

  x \in (0, \frac{3}{2})    

Rozwiązanie 

Zadanie 9 (0-3) Zad. 9 Czerwiec CKE 2023 Równania i nierówności Wielomiany

Rozwiąż równanie 

x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0  

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

  x=3, x=-3, x = -4    

Rozwiązanie 

Zadanie 10 (0-1) Zad. 10 Czerwiec CKE 2023 Równania i nierówności Równania wymierne 

Równanie \frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4} = 0    w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie 

A.   jedno rozwiązanie                               

B.    dwa rozwiązania                                            

C.   trzy rozwiązania                                       

D.   cztery rozwiązania 

Pokaż odpowiedź

ODP. B 

Rozwiązanie 

Zadanie 11 (0-1) Zad. 11 Czerwiec CKE 2023 Funkcje   Funkcja liniowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresy funkcji liniowych f(x) = (2m + 3)x + 5 oraz g(x) = -x nie mają punktów wspólnych dla                

A.    m = -2                                 B.    m = -1                                              C.    m = 1                                           D.    m = 2

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Rozwiązanie 

Zadanie 12 (0-1) Zad. 12 Czerwiec CKE 2023 Funkcje   Funkcja liniowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta o równaniu y = ax + b przechodzi przez punkty A = (-3, -1) oraz B = (4, 3).      

Współczynnik a w równaniu tej prostej jest równy 

A.    (-4)                                 B.    (- \frac{1}{2})                                              C.    2                                           D.    \frac{4}{7}

Pokaż odpowiedź

ODP. D 

Rozwiązanie

Zadanie 13.1 (0-2) Zad. 13.1 Czerwiec CKE 2023 Funkcje 

W kartezjańskim układzie współrzędnych   (x, y)      narysowano wykres funkcji   y = f(x)   (zobacz rysunek) 

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F 

A.   [-3, -1] \cup [1, 3]                               

B.    (-3, 3)                                            

C.   (-3, -1) \cup (1, 3)                                     

D.  [-5, -1] \cup [1, 5]

E.    (-5, 5)    

F.    (-5, -1) \cup (1, 5)     

Pokaż odpowiedź

ODP. F, A   

Rozwiązanie

Zadanie 13.2 (0-1) Zad. 13.2 Czerwiec CKE 2023 Funkcje 

W kartezjańskim układzie współrzędnych   (x, y)      narysowano wykres funkcji   y = f(x)   (zobacz rysunek) 

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < - 1.   

……………………………………………………………………………………………………………………………….

Pokaż odpowiedź

  x \in (-5, -3)    

Rozwiązanie

Zadanie 14 (0-1) Zad. 14 Czerwiec CKE 2023 Funkcje  Funkcja kwadratowa 

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = ax^2 + bx + 1, gdzie a oraz b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że a < 0 i b > 0. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y).

Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na rysunku 

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 15.1 (0-1) Zad. 15.1 Czerwiec CKE 2023 Funkcje  

Masa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą 

m(t) = m_0 \cdot (0,6)^{0,25t}

gdzie 

m_0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t = 0 dawki leku,

t - czas (wyrażony w godzinach ) liczony od momentu t = 0 zażycia leku 

Chory przyjął jednorazowo lek L w dawce 200 mg.

Oblicz, ile mg leku L pozostanie w organizmie chorego po 12 godzinach od momentu przyjęcia dawki. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

  43,2 mg     

Rozwiązanie

Zadanie 15.2 (0-1) Zad. 15.2 Czerwiec CKE 2023 Funkcje Ciąg geometryczny 

Masa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą 

m(t) = m_0 \cdot (0,6)^{0,25t}

gdzie 

m_0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t = 0 dawki leku,

t - czas (wyrażony w godzinach ) liczony od momentu t = 0 zażycia leku 

Liczby m(2,5), m(4,5), m(6,5) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. 

Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

  q = \sqrt{0,6}      

Rozwiązanie

Zadanie 16 (0-1) Zad. 16 Czerwiec CKE 2023 Ciągi 

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = \frac{n - 2}{3} dla każdej liczby naturalnej n \ge 1.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa 

A.    28                                 B.    31                                              C.    32                                           D.    27

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie 

Zadanie 17 (0-1) Zad. 17 Czerwiec CKE 2023 Ciągi Ciąg arytmetyczny 

Trzywyrazowy ciąg (1, 4, a + 5) jest arytmetyczny. 

Liczba a jest równa 

A.    0                                 B.    7                                              C.    2                                           D.    11

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie 

Zadanie 18 (0-1) Zad. 18 Czerwiec CKE 2023 Ciągi Ciąg geometryczny 

Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n \ge 1. W tym ciągu a_1 = 3,75 oraz a_2 = -7,5.     

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa  

A.    11,25                                 B.    (-18,75)                                              C.    15                                           D.    (-15)

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie 

Zadanie 19 (0-1) Zad. 19 Czerwiec CKE 2023 Trygonometria 

Dla każdego kąta ostrego \alpha wyrażenie cos \alpha - cos \alpha \cdot sin ^2 \alpha jest równe 

A.    cos^3 \alpha                                 B.    sin^2 \alpha                                              C.    1 - sin^2 \alpha                                           D.    cos \alpha

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie 

Zadanie 20 (0-2) Zad. 20 Czerwiec CKE 2023 Planimetria 

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30^{\circ}, 45^{\circ} oraz 105^{\circ}. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio –  a, b oraz c (zobacz rysunek). 

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. 

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami ………….. oraz ………….. 

A.   \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a \cdot c                               

B.    \frac{1}{4} \cdot a \cdot c                                            

C.   \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a \cdot c                                     

D.  \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot b \cdot c

E.    \frac{1}{2} \cdot b \cdot c    

F.    \frac{1}{4} \cdot b \cdot c     

Pokaż odpowiedź

ODP. C, F   

Rozwiązanie

Zadanie 21 (0-1) Zad. 21 Czerwiec CKE 2023 Planimetria 

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku S. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C. Proste k i l przecinają się punkcie D, przy czym |BC| = 4 i |CD| = 3 (zobacz rysunek). 

Odległość punktu A od prostej l jest równa 

A.    \frac{7}{2}                                 B.    5                                              C.    \sqrt{12}                                           D.    \sqrt{3} + 2

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie 

Zadanie 22 (0-1) Zad. 22 Czerwiec CKE 2023 Planimetria 

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek) 

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, P     

Rozwiązanie 

Zadanie 23 (0-1) Zad. 23 Czerwiec CKE 2023 Planimetria 

Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie, że |\sphericalangle ADB| = 20^{\circ} i |\sphericalangle DBC| = 40^{\circ} (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K.

Miara kąta DKC jest równa 

A.    80^{\circ}                                 B.    60^{\circ}                                              C.    50^{\circ}                                           D.    40^{\circ}

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie 

Zadanie 24 (0-1) Zad. 24 Czerwiec CKE 2023 Planimetria 

Pole trójkąta równobocznego T_1 jest równe \frac{(1,5)^2 \cdot \sqrt{3}}{4}. Pole trójkąta równobocznego T_2 jest równe \frac{(4,5)^2 \cdot \sqrt{3}}{4}.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt T_2 jest podobny do trójkąta T_1 w skali 

Pokaż odpowiedź

ODP. A – 2     

Rozwiązanie 

Zadanie 25 (0-1) Zad. 25 Czerwiec CKE 2023 Planimetria 

Pole równoległoboku ABCD jest równe 40 \sqrt{6}. Bok AD tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę 135^{\circ} (zobacz rysunek). 

    

Długość boku AB jest równa 

A.    8\sqrt{3}                                 B.    8\sqrt{2}                                              C.    16\sqrt{2}                                           D.    16\sqrt{3}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie 

Zadanie 26 (0-1) Zad. 26 Czerwiec CKE 2023 Geometria analityczna  

Funkcja f jest okreslona wzorem f(x) = -x +1. Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji g przechodzi przez punkt P = (0, -1) i jest prostopadły do wykresu funckji f.

Wzorem funkcji g jest 

A.    g(x) = x + 1                                                                  B.    g(x) = - x - 1                                             

C.    g(x) = -x +1                                                                D.    g(x) = x - 1

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie 

Zadanie 27 (0-1) Zad. 27 Czerwiec CKE 2023 Geometria analityczna  

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (-1, 5) oraz C = (3, -3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. 

Pole kwadratu ABCD jest równe 

A.    8\sqrt{10}                                 B.    16\sqrt{5}                                              C.    40                                           D.    80

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie 

Zadanie 28 (0-1) Zad. 28 Czerwiec CKE 2023 Geometria analityczna  

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A=(1, 7) oraz P = (3, 1). Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AB| : |PB| = 1 : 3.

Punkt B ma współrzędne 

A.    (9, -5)                                 B.    (9, -17)                                              C.    (7, -11)                                           D.    (5, -5)

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie 

Zadanie 29.1 (0-1) Zad. 29.1 Czerwiec CKE 2023 Stereometria  Ostrosłupy 

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. 

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu. 

Objętość tego ostrosłupa jest równa ………………………………. .

Pokaż odpowiedź

144    

Rozwiązanie 

Zadanie 29.2 (0-1) Zad. 29.2 Czerwiec CKE 2023 Stereometria  Ostrosłupy 

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. 

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy 

A.    \sqrt{2}                                 B.    \frac{\sqrt{6}}{3}                                              C.    \frac{\sqrt{2}}{2}                                           D.    \frac{\sqrt{3}}{3}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie 

Zadanie 30 (0-1) Zad. 30 Czerwiec CKE 2023 Stereometria  Graniastosłupy

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F', w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AD' tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45^{\circ} (zobacz rysunek) 

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe 

A.    12,5                                 B.    25                                              C.    50                                           D.    100

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie 

Zadanie 31 (0-1) Zad. 31 Czerwiec CKE 2023 Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3   jest 

A.    8                                 B.    4                                              C.    5                                           D.    6

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie 

Zadanie 32 (0-2) Zad. 32 Czerwiec CKE 2023 Prawdopodobieństwo 

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od 1 do 8 – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. 

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, ze suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

P(A) = \frac{1}{7}  

Rozwiązanie 

Zadanie 33 (0-4) Zad. 33 Czerwiec CKE 2023 Optymalizacja i rachunek różniczkowy 

Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB| = 400 m oraz |CD| = 100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. 

Z działki postawiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa wierzchołki tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek). 

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. 

Zapisz obliczenia. 

Wskazówka:

Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD:  

P_{ABCD}=P_{ABFE} + P_{EFCD}

Pokaż odpowiedź

50 m x 200 m oraz  P = 10000  

Rozwiązanie