Arkusz maturalny z matematyki Czerwiec 2025

Arkusz maturalny z matematyki Czerwiec 2025 tutaj lub w formie prezentacji tutaj.

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj

Zadanie 1 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 1 Czerwiec CKE 2025 Równania i nierówności Wartość bezwzględna

Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x - 6| = 4.$

Iloczyn $x_1 \cdot x_2$ jest równy

A. $4$ B. $20$ C. $24$ D. $100$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 2 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 2 Czerwiec CKE 2025 Liczby rzeczywiste

Liczba $256 \cdot \sqrt[3]{8^2}$ jest równa

A. $2^8$ B. $2^{10}$ C. $2^{16}$ D. $2^{36}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 3 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 3 Czerwiec CKE 2025 Liczby rzeczywiste Logarytmy

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F

Rozwiązanie

Zadanie 4 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 4 Czerwiec CKE 2025 Liczby rzeczywiste Wzory skróconego mnożenia

Liczba $(\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{12}$ jest równa

A. $4 - 4\sqrt{3}$ B. $4 - 2\sqrt{3}$ C. $2$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 5 Czerwiec CKE 2025 (0-3) Zad. 5 Czerwiec CKE 2025 Liczby rzeczywiste Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a,$ która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1,$ i dla każdej liczby całkowitej $b,$ która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4,$ liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $5.$

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD

Rozwiązanie

Zadanie 6 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 6 Czerwiec CKE 2025 Równania i nierówności Nierówności liniowe

Dana jest nierówność

$8 - \frac{1 - 2x}{2} \ge 3x$

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 7 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 7 Czerwiec CKE 2025 Równania i nierówności

Równanie $4(x - 1)^2 (x^2 - 25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

A. dwa rozwiązania
B. trzy rozwiązania
C. cztery rozwiązania
D. pięć rozwiązań

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 8 Czerwiec CKE 2025 (0-2) Zad. 8 Czerwiec CKE 2025 Układy równań

W maju $2024$ roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie $1410$ drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło $20\%$ drzew w pierwszym sadzie i $15\%$ drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie nasadzono.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $70\%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju $2024$ roku. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. W I sadzie posadzono 850 drzew.

Rozwiązanie

Zadanie 9 Czerwiec CKE 2025 (0-2) Zad. 9 Czerwiec CKE 2025 Równania i nierówności Nierówności kwadratowe

Rozwiąż nierówność

$x(x + 4) < x - 2$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x \in (-2; -1)$

Rozwiązanie

Zadanie 10 Czerwiec CKE 2025 (0-4) Zad. 10 Czerwiec CKE 2025 Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \left\{{\begin{array} 1 x + 5 ~~ dla ~~~~ x \in [-4, -2] \\ 3 ~~ dla ~~~~ x \in (-2 , 2] \\ -3x + 9 ~~ dla ~~~~ x \in (2 , 4) \end{array}\right$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zadania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ………………..
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ……………. .
3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji $f$ jest przedział ……….. .
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) < f(-3)$ jest przedział ……… .

Pokaż odpowiedź

ODP. $1. (-5; 3] ~~~~ 2. [0; 3] ~~~~ 3. [-2; 1] ~~~~ 4. (-3; 1]$

Rozwiązanie

Zadanie 11 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 11 Czerwiec CKE 2025 Funkcje Funkcja liniowa

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{1}{2} x - k,$ gdzie $k$ jest liczbą rzeczywistą.
Miejsce zerowe funkcji $f$ jest liczbą większą od $2.$

Liczba $k$ należy do przedziału

A. $)-\infty; -1)$ B. $(-1; 0)$ C. $(0; 1)$ D. $(1: +\infty)$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 12 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 12 Czerwiec CKE 2025 Funkcje Funkcja liniowa

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 5x.$ W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi $Ox$ i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej $g.$

Funkcja $g$ jest określona wzorem

A.   $g(x) = 5x - 5$
B. $g(x) = 5x - 1$
C.   $g(x) = 5x + 1$
D. $g(x) = 5x + 5$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 13 Czerwiec CKE 2025 (0-3) Zad. 13 Czerwiec CKE 2025 Funkcje Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2, 15).$ Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu $x = -1.$
Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $f(x) = 3(x + 1)^2 - 12$

Rozwiązanie

Zadanie 14.1 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 14.1 Czerwiec CKE 2025 Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n^2 - 3n$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Suma $S_3$ trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

A. $18$ B. $24$ C. $60$ D. $90$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 14.2 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 14.2 Czerwiec CKE 2025 Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n^2 - 3n$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Rozwiązanie

Zadanie 15.1 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 15.1 Czerwiec CKE 2025 Ciągi Ciąg arytmetyczny

W ciągu arytmetycznym $(a_n),$ określonym dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1,$ dane są wyrazy: $a_1 = 52$ oraz $a_{25} = 2.$

Różnica ciągu $(a_n)$ jest równa

A. $(-\frac{25}{12})$ B. $(-2)$ C. $2$ D. $\frac{25}{12}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 15.2 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 15.2 Czerwiec CKE 2025 Ciągi Ciąg arytmetyczny

W ciągu arytmetycznym $(a_n),$ określonym dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1,$ dane są wyrazy: $a_1 = 52$ oraz $a_{25} = 2.$

Suma $S_{25}$ dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

A. $675$ B. $700$ C. $1300$ D. $1325$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 16 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 16 Czerwiec CKE 2025 Ciągi Ciąg geometryczny

Trzywyrazowy ciąg $(4, m, m - 1)$ jest geometryczny, gdy liczba $m$ jest równa

A. $(-3)$ B. $(-2)$ C. $2$ D. $3$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 17 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 17 Czerwiec CKE 2025 Trygonometria

Liczba $\frac{sin^3 25^{\circ} + sin25^{\circ} \cdot cos^2 25^{\circ}}{cos 25^{\circ}}$ jest równa

A. $sin25^{\circ}$ B. $cos 25^{\circ}$ C. $tg 25^{\circ}$ D. $1$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 18 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 18 Czerwiec CKE 2025 Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ oraz $\beta$ (zobacz rysunek).
Sinus kąta $\alpha$ jest równy $\frac{4}{7} .$

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Rozwiązanie

Zadanie 19.1 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 19.1 Czerwiec CKE 2025 Planimetria

Dany jest trójkat prostokątny o bokach długości $10, 24, 26$ (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

A. $\frac{10}{3}$ B. $4$ C. $5$ D. $\frac{80}{13}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 19.2 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 19.2 Czerwiec CKE 2025 Planimetria

Dany jest trójkat prostokątny o bokach długości $10, 24, 26$ (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

A. $\frac{80}{13}$ B. $\frac{20}{3}$ C. $12$ D. $13$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 20 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 20 Czerwiec CKE 2025 Planimetria

Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o środku w punkcie $S$ (zobacz rysunek)

Miara kąta wpisanego $AGD$ jest równa

A. $18^{\circ}$ B. $36^{\circ}$ C. $54^{\circ}$ D. $60^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 21 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 21 Czerwiec CKE 2025 Planimetria

Kwadrat $K_2$ jest podobny do kwadratu $K_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek).
Suma pól tych kwadratów jest równa $78.$

Długość boku kwadratu $K_1$ jest równa

A. $\sqrt{3}$ B. $3$ C. $\sqrt{13}$ D. $13$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 22 Czerwiec CKE 2025 (0-2) Zad. 22 Czerwiec CKE 2025 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = 5x + 7.$ Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -4).$
Punkt o współrzędnych $(p, 2)$ należy do prostej $l.$

Oblicz $p.$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $p = \frac{6}{5}$

Rozwiązanie

Zadanie 23 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 23 Czerwiec CKE 2025 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $O$ o równaniu

$O: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

Okrąg $K$ jest obrazem okręgu $O$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ układu współrzędnych.

Okrąg $K$ jest określony równaniem

A.   $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$
B. $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$
C.   $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$
D. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 24 Czerwiec CKE 2025 (0-4) Zad. 24 Czerwiec CKE 2025 Graniastosłupy Ciąg geometryczny

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $94,5.$
Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym $4.$

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. V = 27

Rozwiązanie

Zadanie 25 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 25 Czerwiec CKE 2025 Stereometria Ostrosłupy

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $20.$
Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równe

A. $2$ B. $\sqrt{5}$ C. $\sqrt{10}$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 26 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 26 Czerwiec CKE 2025 Stereometria Bryły obrotowe

Tworząca stożka ma długość $6.$ Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^{\circ}.$

Wysokość tego stożka jest równa

A. $3$ B. $2\sqrt{3}$ C. $3\sqrt{3}$ D. $3\sqrt{5}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 27 Czerwiec CKE 2025 (0-2) Zad. 27 Czerwiec CKE 2025 Prawdopodobieństwo

Dane są dwa zbiory: $X = [{-3, -2, -1, 0, 1, 2}]$ oraz $Y = [{-2, -1, 0, 1}].$
Losujemy jedną liczbę ze zbioru $X,$ a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru $Y$ i tworzymy uporządkowaną parę liczb $(x, y),$ gdzie $x$ jest liczbą wylosowaną ze zbioru $X$ oraz $y$ jest liczbą wylosowaną ze zbioru $Y.$

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb $(x, y),$ która będzie spełniać warunek $x \cdot y \ge 0.$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $P(A) = \frac{17}{24}$

Rozwiązanie

Zadanie 28 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 28 Czerwiec CKE 2025 Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0,$ jest

A. $108$ B. $117$ C. $126$ D. $162$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 29 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 29 Czerwiec CKE 2025 Statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a, b, c$ jest równa $12.$
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $2a, 3a, 2b, 3b, 2c, 3c$ jest równa

A. $10$ B. $12$ C. $30$ D. $60$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 30 Czerwiec CKE 2025 (0-3) Zad. 30 Czerwiec CKE 2025 Statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie …….. uczniów tej klasy.
2. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa …………
3. Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa …….

Pokaż odpowiedź

ODP. Ad 1. 11; Ad 2. M = 3,5; Ad 3. D = 4

Rozwiązanie

Zadanie 31 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Zad. 31 Czerwiec CKE 2025 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki $L25$ na liczbękupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek $L25$ wyraża się wzorem

$Z(x) = (500 + 50x)(16 - x)$

gdzie:

$x$ – kwota obniżki ceny latarki $L25$ (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki $x \ge 1$ i $x \le 14,$

$Z$ – roczny zysk ze sprzedaży latarek $L25$ (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek $L25$ będzie największy dla $x$ równego

A. $3$ B. $4$ C. $7$ D. $14$

Pokaż odpowiedź

ODP. A