Grudzień CKE 2022

Test diagnostyczny z matematyki Grudzień CKE 2022 tutaj lub w formie prezentacji tutaj

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście -> tutaj lub w jednym filmie -> tutaj

Zadanie 1 (0-1) Zad. 1 Grudzień CKE 2022 Liczby rzeczywiste

Liczba $( 5 \cdot 5^\frac {1}{2})^\frac {1}{3}$ jest równa

A. $\sqrt[6]{5}$ B. $\sqrt[3]{25}$ C. $\sqrt{5}$ D. $\sqrt[3]{5}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 2 (0-1) Zad. 2 Grudzień CKE 2022 Liczby rzeczywiste

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za $40 000 zł$ oprocentowane $7\%$ w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa:

A. $40 000 \cdot (1,07)^2 zł$ B. $40 000 \cdot (1,7)^2 zł$ C. $40 000 \cdot 1,14 zł$ D. $40 000 \cdot 1,49 zł$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 3 (0-1) Zad. 3 Grudzień CKE 2022 Układy równań

Właściciel sklepu kupił w hurtowni $50$ par identycznych spodni po $x$ zł za parę i $40$ identycznych marynarek po $y$ zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił $8000$ zł. Po doliczeniu marży $50\%$ na każdą parę spodni i $20\%$ na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.

Cenę pary spodni $x$ oraz cenę marynarki $y$ , jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań:

A. $\left\{{\begin{array}1x+y=8000\\0,5x=0,2y\end{array}\right$ B. $\left\{{\begin{array}150x+40y=8000\\0,5x=0,2y\end{array}\right$ C. $\left\{{\begin{array}150x+40y=8000\\1,5x=1,2y\end{array}\right$ D. $\left\{{\begin{array}1x+y=8000\\1,5x=1,2y\end{array}\right$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 4 (0-1) Zad. 4 Grudzień CKE 2022 Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne

Liczby rzeczywiste $x$ i $y$ są dodatnie oraz $x \ne y.$

Wyrażenie $\frac{1}{x-y} + \frac{1}{x+y}$ można przekształcić do postaci

A. $\frac{2}{x-y}$ B. $\frac{2}{x^2-y^2}$ C. $\frac{2x}{x^2-y^2}$ D. $\frac{-2xy}{x+y}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 5 (0-1) Zad. 5 Grudzień CKE 2022 Kombinatoryka

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest

A. $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$ B. $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ C. $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ D. $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 6 (0-1) Zad. 6 Grudzień CKE 2022 Liczby rzeczywiste Logarytmy

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = - log x$ dla wszystkich liczb rzeczywistych dodtanich $x.$

Wartość funkcji $f$ dla argumentu $x = \sqrt{10}$ jest równa

A. $2$ B. $(- \frac{1}{2})$ C. $\frac{1}{2}$ D. $( - 2)$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 7.1 (0-1) Zad. 7.1 Grudzień CKE 2022 Funkcje Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 +bx +c.$ Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f,$ ma współrzędne $(5, -3).$ Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych ma współrzędne $(4, 0).$

Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji $f.$

Pokaż odpowiedź

$[-3; \infty )$

Rozwiązanie

Zadanie 7.2 (0-2) Zad. 7.2 Grudzień CKE 2022 Funkcje Funkcja kwadratowa

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej.

Pokaż odpowiedź

$y = 3(x - 5)^2 -3$

Rozwiązanie

Zadanie 8 (0-1) Zad. 8 Grudzień CKE 2022 Równania i nierówności Nierówności kwadratowe

Dana jest nierówność kwadratowa

$(3x - 9)(x + k) < 0$

z niewiadomą $x$ i parametrem $k \in R.$ Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział $(-2, 3).$

Liczba $k$ jest równa

A. $(-2)$ B. $2$ C. $(-3)$ D. $3$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 9 (0-1) Zad. 9 Grudzień CKE 2022 Funkcje Funkcja kwadratowa

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx +c,$ gdzie $a, b$ i $c$ są liczbami rzeczywistymi takimi, że $a \ne 0$ oraz $c < 0.$ Funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Wykres funkcji $f$ leży w całości

Pokaż odpowiedź

ODP. B – 1

Rozwiązanie

Zadanie 10 (0-1) Zad. 10 Grudzień CKE 2022 Układy równań

Dany jest układ równań

$\left\{{\begin{array}1y = x -1\\y = -x +1 \end{array}\right$

Na którym z rysunków A-D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 11 (0-1) Zad. 11 Grudzień CKE 2022 Wyrażenia algebraiczne Wielomiany

Dany jest wielomian $W$ określony wzorem $W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x +6$ dla każdej liczby rzeczywistej $x.$

Wielomian $W$ przy rozkładzie na czynniki ma postać

A. $W(x) = (x+2)(x^2 - 3)$

B. $W(x) = (x-2)(x^2 - 3)$

C. $W(x) = (x+2)(x^2 + 3)$

D. $W(x) = (x-2)(x^2 + 3)$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 12 (0-1) Zad. 12 Grudzień CKE 2022 Równania i nierówności Równania wymierne

Równanie $\frac{(4-x)(2x-3)}{(3x-5)(3-2x)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie

B. dwa rozwiązania

C. trzy rozwiązania

D. cztery rozwiązania

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 13 (0-1) Zad. 13 Grudzień CKE 2022 Równania i nierówności

Dana jest nierówność

$2 - \frac{x}{2} \ge \frac{x}{3} - 3$

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

A. $6$ B. $5$ C. $7$ D. $( - 6)$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 14 (0-2) Zad. 14 Grudzień CKE 2022 Liczby rzeczywiste Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $5n^2 +15n$ jest podzielna przez $10.$

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD

Rozwiązanie

Zadanie 15 (0-1) Zad. 15 Grudzień CKE 2022 Ciągi

Dany jest ciąg $(a_n )$ określony wzorem $a_n = 2n^2 + n$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Rozwiązanie

Zadanie 16 (0-1) Zad. 16 Grudzień CKE 2022 Ciągi Ciąg arytmetyczny

Pięciowyrazowy ciąg $(-3, \frac{1}{2}, x, y, 11)$ jest arytmetyczny

Liczby $x$ oraz $y$ są równe

A. $x = 4$ oraz $y = \frac{15}{2}$ B. $x = \frac{15}{2}$ oraz $y = 4$

C. $x = - 4$ oraz $y = \frac{15}{2}$ D. $x = - \frac{15}{2}$ oraz $y = 4$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 17 (0-2) Zad. 17 Grudzień CKE 2022 Ciągi Ciąg geometryczny

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n ),$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$ w tym ciągu $a_1 = - 5$ , $a_2 = 15$ , $a_3 = - 45.$

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego dania było prawdziwe.

Wzór ogólny ciągu $(a_n )$ ma postać

A. $a_n = -5 \cdot (-3)^{n-1}$

B. $a_n = -5 \cdot (-3)^n$

C. $a_n = -5 \cdot 3^{n-1}$

D. $a_n = -5 \cdot \frac{(-3)^n}{3}$

E. $a_n = 5 \cdot \frac{(-3)^n}{3}$

F. $a_n = 5 \cdot (-3)^n \cdot 3$

Pokaż odpowiedź

ODP. A oraz E

Rozwiązanie

Zadanie 18 (0-1) Zad. 18 Grudzień CKE 2022 Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\frac{1}{sin^2 \alpha} + \frac{1}{cos^2 \alpha} = \frac{64}{9}.$

Wartość wyrażenia $sin \alpha \cdot cos \alpha$ jest równa

A. $\frac{8}{3}$ B. $\frac{3}{8}$ C. $\frac{64}{9}$ D. $\frac{9}{64}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 19 (0-1) Zad. 19 Grudzień CKE 2022 Planimetria

Punkty $A, B, C$ leżą na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek). Ponadto $|\sphericalangle AOC| = 130^{\circ}$ oraz $|\sphericalangle BOA| = 110^{\circ}.$

Miara kąta wewnętrznego $BAC$ trójkąta $ABC$ jest równa

A. $60^{\circ}$ B. $55^{\circ}$ C. $50^{\circ}$ D. $65^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 20 (0-4) Zad. 20 Grudzień CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości $200$ m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Oblicz wymiary a i b kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

ODP. a = 50, b = 100

Rozwiązanie

Zadanie 21 (0-1) Zad. 21 Grudzień CKE 2022 Planimetria

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $8.$ Z wierzchołka $A$ zakreślono promień równy długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe

A. $16 \pi$ B. $8 \pi$ C. $4 \sqrt{2} \pi$ D. $16 \sqrt{2} \pi$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 22 (0-1) Zad. 22 Grudzień CKE 2022 Planimetria

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O.$ Ponadto $|AD| = 4$ i $|OD| = |BC| = 6.$ Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste (zobacz rysunek).

Długość odcinka $OC$ jest równa

A. $9$ B. $8$ C. $2 \sqrt{13}$ D. $3 \sqrt{13}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 23 (0-2) Zad. 23 Grudzień CKE 2022 Planimetria

Przekątne równoległe $ABCD$ mają długości $|AC| = 16$ oraz $|BD| = 12.$ Wierzchołki $E, F, G$ oraz $H$ rombu $EFGH$ leżą na bokach równoległoboku $ABCD$ (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

Oblicz długość boku rombu $EFGH.$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$a = \frac{48}{7}$

Rozwiązanie

Zadanie 24 (0-2) Zad. 24 Grudzień CKE 2022 Trygonometria

Dany jest trójkąt $ABC,$ w którym $|AC| = 4, |AB| = 3,$ $cos \sphericalangle BAC = \frac{4}{5}.$

Oblicz pole trójkąta $ABC.$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$P = 3,6$

Rozwiązanie

Zadanie 25.1 (0-1) Zad. 25.1 Grudzień CKE 2022 Planimetria

Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$ o polu równym $6 \sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

A. $6$ B. $4 \sqrt{3}$ C. $2 \sqrt{3}$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 25.2 (0-1) Zad. 25.2 Grudzień CKE 2022 Planimetria

Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$ o polu równym $6 \sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Długość odcinka $AE$ jest równa

A. $2$ B. $2 \sqrt{3}$ C. $4 \sqrt{3}$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 26 (0-1) Zad. 26 Grudzień CKE 2022 Planimetria

Dany jest trapez $ABCD,$ w którym $AB || CD$ oraz przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa $12.$ Obwód trójkata $ABO$ jest równy $39,$ a obwód trójkąta $CDO$ jest równy 13.

Wysokość trójkąta $ABO$ poprowadzona z punktu $O$ jest równa

A. $3$ B. $4$ C. $9$ D. $6$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 27 (0-1) Zad. 27 Grudzień CKE 2022 Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ dany jest okrąg $O$ o równaniu

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 13$

Okrag $O$ przecina oś $Oy$ w punktach o współrzędnych

A. $(0, 1)$ i $(0, 5)$ B. $(0, 1)$ i $(0, - 5)$

C. $(1, 0)$ i $(5, 0)$ D. $(0, -1)$ i $(0, 5)$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 28 (0-1) Zad. 28 Grudzień CKE 2022 Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach

$k: y = \frac{1}{3}x - 1$

$l: y = -3x + 6$

Proste $k$ oraz $l$

A. nie mają punktów wspólnych

B. są prostopadłe

C. przecinają się w punkcie $P = (0, -1).$

D. się pokrywają

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 29 (0-1) Zad. 29 Grudzień CKE 2022 Geometria analityczna

Na płaszczyźnie w kartezjański układzie współrzędnych $(x, y),$ dane są punkty $A = (1, 2)$ i $B = (2m, m),$ gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta $k$ o równaniu $y = -x - 1.$

Prosta przechodząca przez punkty $A$ i $B$ jest równoległa do prostej $k,$ gdy

A. $m = - 1$ B. $m = 1$ C. $m = \frac{1}{2}$ D. $m = 2$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 30.1 (0-1) Zad. 30.1 Grudzień CKE 2022 Stereometria Ostrosłupy

Dany jest $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $9.$ Wierzchołki podstawy $ABCD$ sześcianu połączono odcinkami z punktem $W,$ który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy $EFGH.$ Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDW$ (zobacz rysunek).