Grudzień CKE 2023

Test diagnostyczny z matematyki Grudzień CKE 2023 tutaj lub w formie prezentacji tutaj

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023) 

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj lub w jednym filmie –> tutaj

Zadanie 1 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 1 Grudzień CKE 2023  Liczby rzeczywiste

Liczba (3^{-2,4} \cdot 3^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2} jest równa

A.    \sgrt{3}                                 B.    \frac{\sqrt{3}}{3}                                              C.    \frac{1}{3}                                           D.    0,3

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 2 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 2 Grudzień CKE 2023  Liczby rzeczywiste Logarytmy

Liczba log_2 96 - log_2 3   jest równa

A.    log_2 93                                 B.    log_2 30                                              C.    4                                           D.    5

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 3 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 3 Grudzień CKE 2023  Liczby rzeczywiste

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnia. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5 \% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 4851 zł (bez uwzględnienia podatków)

Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa

A.    4300zł                                B.    4400zł                                             C.    4500zł                                          D.    4600zł

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 4 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 4 Grudzień CKE 2023   Równania i nierówności

Na osi liczbowej zaznaczono przedział

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

A.    | x - 2 | < 5                                                            B.    | x - 2 | > 5                                             
C.    | x - 5 | < 2                                                             D.    | x - 5 | > 2

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 5 Grudzień 2023 (0-2)   Zad. 5 Grudzień CKE 2023  Liczby rzeczywiste Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n^2 + 4n + 1 jest podzielna przez 4.

Pokaż odpowiedź

DOWÓD   

Rozwiązanie

Zadanie 6 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 6 Grudzień CKE 2023  Układy równań

Dany jest układ równań \left\{{\begin{array}1x - 3y + 5 = 0\\ 2x + y + 3 = 0\end{array}\right

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

A.    x = 1 i   y = 2                                                              B.    x = 0 i   y = - 3                                            
C.   x = - 2 i   y = 1                                                            D.  x = - 1 i   y = - 1

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 7 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 7 Grudzień CKE 2023  Wyrażenia algebraiczne  Wyrażenia wymierne

Dla każdej liczby rzeczywistej   x różnej od   (- 3) i   (- 2) wartość wyrażania

\frac{x + 3}{x^2 + 4x +4}   \cdot   \frac{x^2 + 2x}{2x + 6}    jest równa wartości wyrażenia

A.    \frac{x}{2}                                 B.    \frac{x}{4}                                              C.    \frac{x}{2x + 4}                                           D.    \frac{x^3 + 3x^2}{6x^2 + 24x +24}

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 8 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 8 Grudzień CKE 2023  Równania i nierówności Wielomiany

Dany jest wielomian W(x) = -3x^3 - x^2 + kx + 1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą.

Wiadomo, że wielomian W można zapisać w postaci W(x) = (x + 1) \cdot Q(x) dla pewnego wielomianu Q.

Liczba k jest równa

A.    29                                 B.    ( -3)                                              C.    0                                           D.    3

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

 

Zadanie 9 Grudzień 2023 (0-3)   Zad. 9 Grudzień CKE 2023  Równania i nierówności Wielomiany

Rozwiąż równanie 

2x^3 + 3x^2 = 10x + 15       

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP.  x = - \sqrt{5}, x = - \frac{3}{2}, x = \sqrt{5}  

Rozwiązanie

Zadanie 10 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 10 Grudzień CKE 2023  Funkcje  Funkcja liniowa

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = - \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP.  P, F 

Rozwiązanie

Zadanie 11.1 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 11.1 Grudzień CKE 2023  Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

A.    (- \infty, -2]                                 B.    (- \infty, 4]                                              C.    [-2, +\infty)                                           D.    [4, +\infty)

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 11.2 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 11.2 Grudzień CKE 2023  Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pokaż odpowiedź

ODP.  x \in (2; 6)  

Rozwiązanie

Zadanie 11.3 Grudzień 2023 (0-2)   Zad. 11.3 Grudzień CKE 2023  Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. 

Wzór funkcji f można przedstawić w postaci ………. oraz ………. .

A.    f(x) = \frac{1}{2}(x - 2)(x - 6)                                                              B.    f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 2                                            
C.   f(x) = 2(x - 2)(x - 6)                                                            D.  f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)^2 - 2
C.   f(x) = 2(x + 2)(x + 6)                                                            D.  f(x) = 2(x + 4)^2 - 2

Pokaż odpowiedź

ODP. A oraz B   

Rozwiązanie

Zadanie 11.4 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 11.4 Grudzień CKE 2023  Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f (zobacz rys.) następująco: g(x) = f(x + 1). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), fragment wykresu funkcji y = g(x).

Fragment wykresu funkcji y = g(x) przedstawiono na rysunku

Pokaż odpowiedź

ODP.  B   

Rozwiązanie

Zadanie 12 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 12 Grudzień CKE 2023  Funkcje

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze 22^{\circ} C opisuje funkcja wykładnicza T(x) = 78 \cdot 2^{-0,05x} + 22, gdzie T(x) to teperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (^{\circ} C) po x minutach liczonych od momentu x = 0, w którym zioła zalano wrzątkiem.

Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa

A.    22^{\circ} C                                 B.    39^{\circ} C                                              C.    78^{\circ} C                                           D.    61^{\circ} C

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 13 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 13 Grudzień CKE 2023  Ciągi Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n \ge 1. W tym ciągu a_2 = 4 oraz a_3 = 9.

Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy

A.    24                                 B.    29                                              C.    36                                           D.    69

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 14 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 14 Grudzień CKE 2023  Ciągi

Ciąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n \ge 1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem S_n = 4 \cdot (2^n - 1) dla każdej liczby naturalnej n \ge 1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F   

Rozwiązanie

Zadanie 15 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 15 Grudzień CKE 2023  Ciągi Ciąg geometryczny

Trzywyrazowy ciąg (1 - 2a, 12, 48) jest geometryczny.

Liczba a jest równa

A.    (- 1)                                 B.    3                                              C.    4                                           D.    12,5

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 16 Grudzień 2023 (0-2)   Zad. 16 Grudzień CKE 2023  Trygonometria

Dane są dwa katy o miarach \alpha oraz \beta, spełniają warunki \alpha \in (0^{\circ}, 180^{\circ}) i tg \alpha = - \frac{2}{3} oraz \beta \in (0^{\circ}, 180^{\circ}) i cos \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}.

Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) zaznaczono dwa różne kąty – w tym kąt o mierze \alpha oraz kąt o mierze \beta. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F.

Uzupełnij tabelę. wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. 

Pokaż odpowiedź

ODP. B i D   

Rozwiązanie

Zadanie 17 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 17 Grudzień CKE 2023  Trygonometria

Kąt \alpha jest ostry oraz sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}.

Tangens kąta \alpha jest równy

A.    \frac{\sqrt{5}}{2}                                 B.    \frac{2}{3}                                              C.    \frac{2\sqrt{5}}{5}                                           D.    \frac{3\sqrt{5}}{5}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 18 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 18 Grudzień CKE 2023  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta l o równaniu y = \frac{3}{2} - \frac{15}{2}. Prosta k jest prostopadła do prostej l i przechodzi przez punkt P = (6, 0).

Prosta k ma równanie

A.    y = \frac{3}{2}x + 6                                                           B.    y = - \frac{2}{3}x + 6                                            
C.   y = \frac{3}{2}x - 9                                                            D.  y = - \frac{2}{3} + 4

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 19 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 19 Grudzień CKE 2023  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są proste k oraz l o równaniach

k: y = -\frac{1}{2}x - 7

l: y = (2m - 1)x + 13

Proste k oraz l są równoległe, gdy

A.    m = (- \frac{1}{2})                                 B.    m = \frac{1}{4}                                              C.    m = \frac{3}{2}                                           D.    m = 2

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 20 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 20 Grudzień CKE 2023  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S = (4, -2). Okrąg O jest styczny do osi Ox układu współrzędnych.

Okrąg O jest określony równaniem

A.    (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 4                                                           B.    (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 2                                            
C.   (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 4                                                            D.  (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 2

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 21 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 21 Grudzień CKE 2023  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty K = (-7, -2) oraz L = (-1, 4) są wierzchołkami trójkąta równobocznego KLM.

Pole trójkąta KLM jest równe

A.    17\sqrt{2}                                 B.    17\sqrt{3}                                              C.    18\sqrt{2}                                           D.    18\sqrt{3}

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 22 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 22 Grudzień CKE 2023  Planimetria

Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 32^{\circ}. Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek)

Miara kąta rozwartego BOC jest równa

A.    148^{\circ}                                 B.    116^{\circ}                                              C.    154^{\circ}                                           D.    122^{\circ}

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 23 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 23 Grudzień CKE 2023  Planimetria

W rombie ABCD dłuższa przekatna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30^{\circ} (zobacz rysunek)

Pole rombu ABCD jest równe

A.    24                                 B.    36                                              C.    24\sqrt{3}                                           D.    36\sqrt{2}

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 24 Grudzień 2023 (0-2)   Zad. 24 Grudzień CKE 2023  Planimetria

Dany jest okrąg O o środku w punkcie S. Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto: |PB| = 4, |PC| = 8 oraz |PD| = 5.

Oblicz promień okręgu O. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. r = 7   

Rozwiązanie

Zadanie 25 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 25 Grudzień CKE 2023  Stereometria Graniastosłupy

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek).

Suma odległości punktu P od wszystkich ścian sześcianu ABCDEFGH jest równa

A.    15                                 B.    20                                              C.    25                                           D.    30

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 26 Grudzień 2023 (0-3)   Zad. 26 Grudzień CKE 2023  Stereometria Ostrosłupy

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \alpha taki, że tg \alpga = \frac{4}{3} (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. 10   

Rozwiązanie

Zadanie 27 Grudzień 2023 (0-2)   Zad. 27 Grudzień CKE 2023  Kombinatoryka

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy ( -3). Zapisz obliczenia   

Pokaż odpowiedź

ODP. 840   

Rozwiązanie

Zadanie 28 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 28 Grudzień CKE 2023  Prawdopodobieństwo

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu oczek.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą jest równe.

A.    \frac{1}{2}                                 B.    \frac{1}{5}                                              C.    \frac{1}{4}                                           D.    \frac{3}{4}

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 29.1 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 29.1 Grudzień CKE 2023  Prawdopodobieństwo

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19 dag, 21 dag]. Pobrano próbkę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Spośród 50 zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na ty, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe

A.    \frac{3}{7}                                 B.    \frac{5}{7}                                              C.    \frac{18}{25}                                           D.    \frac{9}{10}

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 29.2 Grudzień 2023 (0-1)   Zad. 29.2 Grudzień CKE 2023  Statystyka

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19 dag, 21 dag]. Pobrano próbkę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Dominanta masy 50 zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa

Pokaż odpowiedź

ODP. A-3   

Rozwiązanie

Zadanie 30 Grudzień 2023 (0-4)   Zad. 30 Grudzień CKE 2023   Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość   12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa   18 dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.     

Pokaż odpowiedź

ODP. b = 3dm i P = 112,5dm^2.  

Rozwiązanie