Grudzień CKE 2024 PR

Test diagnostyczny z matematyki Grudzień CKE 2024 tutaj lub w formie prezentacji tutaj

POZIOM ROZSZERZONY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj 

Zadanie 1 Grudzień CKE 2024 (0-2) Poziom Rozszerzony  Zad. 1 Grudzień CKE 2024 PR    

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością 

Q(t) = Q_0 \cdot \beta^{-t} dla t \ge o    

gdzie:

Q_0 - łądunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej ( t = 0) wyrażony w milikulombach   

Q - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili t (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach 

\beta - stała dodatnia 

t - czas wyrażony w sekundach 

Wiadomo, że w chwili t = 4 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów, a w chwili t = 6 s - ładunek 18 milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili t = 5 s. Zapisz obliczenia.         

Pokaż odpowiedź

ODP. Q(5) = 6    

Rozwiązanie

Zadanie 2 Grudzień CKE 2024 (0-2) Poziom Rozszerzony  Zad. 2 Grudzień CKE 2024 PR    

Okrąg O jest styczny do boków AC i BC trójkąta ABC oraz przecina bok AB tego trójkąta w punktach M oraz N, przy czym 0 < |AM| < |AN| < |AB|.

Wykaż, że jeśli |AM| = |BN|, to trójkąt ABC jest równoramienny. 

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD      

Rozwiązanie

Zadanie 3 Grudzień CKE 2024 (0-3) Poziom Rozszerzony  Zad. 3 Grudzień CKE 2024 PR    

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy 12 \sqrt{3}.

Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe 12 \pi (\sqrt{3} + 1).

Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP.  V = 18\sqrt{2} \pi       

Rozwiązanie

Zadanie 4 Grudzień CKE 2024 (0-3) Poziom Rozszerzony  Zad. 4 Grudzień CKE 2024 PR    

Wykaż, że 

\frac{1}{log_2 35 +1} + \frac{1}{log_7 140 - log_7 2} + \frac{1}{log_5 7 + log_5 2 + 1} = 1

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD      

Rozwiązanie

Zadanie 5 Grudzień CKE 2024 (0-3) Poziom Rozszerzony  Zad. 5 Grudzień CKE 2024 PR    

W pewnej lokalnej społeczności 35\% osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada 70 \% osób mających wyższe wykształcenie i 40 \% osób bez wyższego wykształcenia. 

Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę. 

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeśli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P(B_1/A) = 0,49    

Rozwiązanie

Zadanie 6 Grudzień CKE 2024 (0-3) Poziom Rozszerzony  Zad. 6 Grudzień CKE 2024 PR    

Rozwiąż równanie 

|4x - 8| + |x - 2| = |2 - x| + |x + 2| + 4

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. x \in \{\frac{2}{5}, \frac{14}{3} \}    

Rozwiązanie

Zadanie 7 Grudzień CKE 2024 (0-4) Poziom Rozszerzony Zad. 7 Grudzień CKE 2024 PR    

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są: okrąg o równaniu (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 50 i punkty A = (6, 4) oraz B = (-6, 8).

Punkt C leży na tym okręgu i |AC| = |BC|.

Oblicz współrzędne punktu C. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP.  C_1 =(-\sqrt{5} -1; -3\sqrt{5} + 3) oraz C_2 =(\sqrt{5} -1; 3\sqrt{5} + 3)    

Rozwiązanie

Zadanie 8 Grudzień CKE 2024 (0-4) Poziom Rozszerzony Zad. 8 Grudzień CKE 2024 PR    

Oblicz granicę 

    $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n +1)}{ {n \choose 2}} $$

gdzie 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n +1) jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. 2    

Rozwiązanie

Zadanie 9 Grudzień CKE 2024 (0-4) Poziom Rozszerzony Zad. 9 Grudzień CKE 2024 PR    

Rozwiąż równanie 

sin^4 x = sin x \cdot cos x - cos^4 x

w zbiorze [- \pi, 2\pi]. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. x \in \{- \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}. \frac{5\pi}{4} \}    

Rozwiązanie

Zadanie 10 Grudzień CKE 2024 (0-5) Poziom Rozszerzony Zad. 10 Grudzień CKE 2024 PR    

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n \ge 1, spełniają warunek a_3 + a_5 = 10.

Trzywyrazowy ciąg (2a_1 + 4, a_4 - 1, - \frac{1}{8} a_7 ) jest geometryczny. 

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. (32, 4, \frac{1}{2} )    

Rozwiązanie

Zadanie 11 Grudzień CKE 2024 (0-5) Poziom Rozszerzony Zad. 11 Grudzień CKE 2024 PR    

Funkcja kwadratowa f zmiennej rzeczywistej x jest określona wzorem 

f(x) = x^2 -3x -m^2 + m + 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe x_1, x_2 spełniające warunek |x_1^2 - x_2^2| \le 12. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. m \in [ \frac{1 - 2\sqrt{5}}{2}, -\frac{1}{2}) \cup ( \frac{3}{2}, \frac{1 + 2\sqrt{5}}{2} ].    

Rozwiązanie

Zadanie 12 Grudzień CKE 2024 (0-5) Poziom Rozszerzony Zad. 12 Grudzień CKE 2024 PR    

W trójkącie ostrokątnym ABC miara kąta BAC jest dwa razy większa od miary kąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AB. Niech \alpha oznacza miarę kąta ABC, natomiast \beta - miarę kąta ADC (zobacz rysunek).

Oblicz \frac{tg \beta}{sin(2 \alpha)}. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. \frac{tg \beta}{sin(2 \alpha)} = 2     

Rozwiązanie

Zadanie 13.1 Grudzień CKE 2024 (0-2) Poziom Rozszerzony Zad. 13.1 Grudzień CKE 2024 PR    

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = \frac{12x - 84}{x - 8} dla każdego x \in (- \infty, 8).

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których: 

  • wierzchołek O ma współrzędne (0, 0)  
  • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią – odpowiednio – 0x i 0y.
  • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określona wzorem 

P(x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x^2 - 56}{x - 8}

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD      

Rozwiązanie

Zadanie 13.2 Grudzień CKE 2024 (0-4) Poziom Rozszerzony Zad. 13.2 Grudzień CKE 2024 PR    

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = \frac{12x - 84}{x - 8} dla każdego x \in (- \infty, 8).

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których: 

  • wierzchołek O ma współrzędne (0, 0)  
  • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią – odpowiednio – 0x i 0y.
  • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f (zobacz rysunek).

Pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określona wzorem 

P(x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x^2 - 56}{x - 8}

dla x \in (0, 7).

Oblicz współrzędne wierzchołka C, dla których pole czworokąta OBCD jest największe. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. C = ( 8 - 2\sqrt{2}, 12 - 3 \sqrt{2})      

Rozwiązanie