Grudzień CKE 2024

Test diagnostyczny z matematyki Grudzień CKE 2024 tutaj lub w formie prezentacji tutaj

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj

Zadanie 1 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 1 Grudzień CKE 2024   Wartość bezwzględna

Liczby x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami równania |x + 4| = 7.

Suma x_1 + x_2 jest równa 

A.    (-14)                                 B.    (-8)                                              C.    3                                          D.    8

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 2 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 2 Grudzień CKE 2024   Liczby rzeczywiste 

Liczba (\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5})^{-5} jest równa 

A.    5^4                                 B.    5^{-4}                                              C.    5^{0,25}                                          D.    5^{-0,25}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 3 Grudzień CKE 2024 (0-2)   Zad. 3 Grudzień CKE 2024   Liczby rzeczywiste Dowód algebraiczny

Wykaż, że liczba 2^{100} + 4^{49} + 16^{24} jest podzielna przez 24.

Pokaż odpowiedź

DOWÓD    

Rozwiązanie

Zadanie 4 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 4 Grudzień CKE 2024   Liczby rzeczywiste Logarytmy

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia log_7 x + 6log_7 y jest równa wartości wyrażenia 

A.    log_7 (\frac{x}{y^6})                                 B.    log_7 (xy)^6                                              C.    log_7 (6xy)                                          D.    log_7 (xy^6)

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 5 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 5 Grudzień CKE 2024   Liczby rzeczywiste 

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę 60 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości p\% w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec oszczędzania kwota na tej lokacie była równa 67 925,76 zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków). 

Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe 

A.    6 \%                                 B.    6,4 \%                                              C.    6,5 \%                                          D.    7 \%

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 6 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 6 Grudzień CKE 2024   Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-1), 0 oraz 1 wartość wyrażenia \frac{x}{x^2 -1} : \frac{3x^2}{x+1} jest równa wartości wyrażenia 

A.    \frac{x}{x-1}                                 B.    \frac{1}{3x^2 -3x}                                              C.    -3x                                          D.    - \frac{1}{3x}

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 7 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 7 Grudzień CKE 2024   Układy równań

Para liczb x = -1 i y = 6 jest rozwiązaniem układu równań 

\left\{{\begin{array} 1ax + 3y = 20\\ x + by = 5 \end{array}\right

gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi. 

Wartość wyrażenia a \cdot b jest równa 

A.    (-2)                                 B.    (-0,5)                                              C.    0,5                                          D.    2

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 8 Grudzień CKE 2024 (0-3)   Zad. 8 Grudzień CKE 2024   Równania i nierówności Równania wymierne 

Rozwiąż równanie 

\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x}{2x - 2}

Zapisz konieczne założenia i obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. x = - 6    

Rozwiązanie

Zadanie 9 Grudzień CKE 2024 (0-2)   Zad. 9 Grudzień CKE 2024   Równania i nierówności Nierówności kwadratowe 

Rozwiąż nierówność 

x (x - 6) \le 7

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. x \in [-1, 7]    

Rozwiązanie

Zadanie 10 Grudzień CKE 2024 (0-4)   Zad. 10 Grudzień CKE 2024   Funkcje 

Funkcja f jest określona następująco 

f(x) = \left\{{\begin{array} 1 3 ~~ dla ~~~~ x \in (-4, -2] \\ -x + 1 ~~ dla ~~~~ x \in (-2 , 2] \\ x -3 ~~ dla ~~~~ x \in (2 , 4] \end{array}\right

Wykres funkcji y = f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej 

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe 

1. Dziedziną funkcji f jest przedział …………….. .

2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ………… .

3. Zbiorem wszytskich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne jest przedział …………… .

4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje największą wartość, jest przedział ………. .

Pokaż odpowiedź

ODP. 1. (-4,4] ~~~~ 2. [-1, 3] ~~~~ 3. (1, 3) ~~~~ 4. (-4, -2]    

Rozwiązanie

Zadanie 11 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 11 Grudzień CKE 2024   Funkcje Funkcja liniowa

Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy kartezjańskiego układu współrzędnych (x, y) ma współrzędne (0, 4) (zobacz rysunek). 

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F    

Rozwiązanie

Zadanie 12.1 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 12.1 Grudzień CKE 2024   Funkcje Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych   (x, y) wykresem funkcji kwadratowej   f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt   (3, 0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych   (0, -9).

Funkcja   f jest malejąca w przedziale 

A.    (-\infty ,0]                                 B.    (-\infty ,3]                                              C.    [0, +\infty)                                          D.    [3, +\infty)

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 12.2 Grudzień CKE 2024 (0-2)   Zad. 12.2 Grudzień CKE 2024   Funkcje Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych   (x, y) wykresem funkcji kwadratowej   f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt   (3, 0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych   (0, -9).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. 

Wzór funkcji   f zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami  ……… oraz ………….. 

A.  f(x) = -x^2 - 9

B.  f(x) = -(x - 3)^2

C.  f(x) = -(x + 3)^2

D.  f(x) = -x^2 + 6x - 9

E.  f(x) = -x^2 - 6x + 9

F.  f(x) = -x^2 - 6x - 9

Pokaż odpowiedź

ODP. B i D    

Rozwiązanie

Zadanie 12.3 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 12.3 Grudzień CKE 2024   Funkcje Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych   (x, y) wykresem funkcji kwadratowej   f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt   (3, 0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych   (0, -9).

Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco g(x) = f(x) -1.

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P    

Rozwiązanie

Zadanie 13 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 13 Grudzień CKE 2024   Funkcje 

Funkcja logarytmiczna f jest określona wzorem f(x) = log_6 x dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x.

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P    

Rozwiązanie

Zadanie 14 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 14 Grudzień CKE 2024   Ciągi Ciąg geometryczny

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3 \cdot (-1)^n + 10 dla każdej liczby naturalnej n \ge 1.

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P    

Rozwiązanie

Zadanie 15 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 15 Grudzień CKE 2024   Ciągi Ciąg arytmetyczny

Trzywyrazowy ciąg (5m, 4 + 2m, m) jest arytmetyczny, gdy liczba m jest równa 

A.    (-4)                                 B.    (-1)                                              C.    1                                          D.    4

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 16 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 16 Grudzień CKE 2024   Ciągi Ciąg geometryczny

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n \ge 1, w którym a_2 = \frac{1}{6} oraz a_3 = \frac{1}{9}.

Piąty wyraz ciągu (a_n) jest równy 

A.    \frac{1}{15}                                 B.    \frac{2}{27}                                              C.    \frac{4}{81}                                          D.    \frac{8}{243}

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 17.1 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 17.1 Grudzień CKE 2024   Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC| = \sqrt{15} i |BC| = 8. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że |BD| = 6 (zobacz rysunek).

Sinus kąta ostrego ABC jest równy 

A.    \frac{1}{2}                                 B.    \frac{7}{8}                                              C.    \frac{\sqrt{15}}{4}                                          D.    \frac{\sqrt{15}}{8}

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 17.2 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 17.2 Grudzień CKE 2024   Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC| = \sqrt{15} i |BC| = 8. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że |BD| = 6 (zobacz rysunek).

Tangens kąta ostrego ADC jest równy 

A.    \sqrt{15}                                 B.    \frac{1}{2}                                              C.    \frac{7}{8}                                          D.    \frac{\sqrt{15}}{8}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 18 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 18 Grudzień CKE 2024   Trygonometria

Kąt o mierze \alpha jest rozwarty oraz sin \slpha = \frac{\sqrt{3}}{4}.

Cosinus kąta o mierze \alpha jest równy 

A.    (- \frac{\sqrt{13}}{4})                                 B.    (-\frac{1}{2})                                              C.    \frac{1}{2}                                          D.    \frac{\sqrt{13}}{4}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 19 Grudzień CKE 2024 (0-4)   Zad. 19 Grudzień CKE 2024  Planimetria 

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek). 

Oblicz pole trapezu ABCD. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P = 22,14    

Rozwiązanie

Zadanie 20 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 20 Grudzień CKE 2024  Planimetria 

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu 6.

Miara kąta wpisanego ACB jest równa 60^{\circ} (zobacz rysunek). 

Długość łuku AB, na którym oparty jest kąt wpisany ACB, jest równa 

A.    2\pi                                 B.    4\pi                                              C.    16\pi                                          D.    12\pi

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 21 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 21 Grudzień CKE 2024  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (-2, -1) oraz C = (3,4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD.

Długość boku kwadratu ABCD jest równa 

A.    5                                 B.    10                                              C.    5\sqrt{2}                                          D.    \sqrt{10}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 22 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 22 Grudzień CKE 2024  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dna jest prosta k o równaniu y = -7x + 3. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0, 6).

Punkt o współrzędnych (1, p) należy do prostej l.

Liczba p jest równa 

A.    (-4)                                 B.    (-1)                                              C.    \frac{5}{7}                                          D.    7

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 23 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 23 Grudzień CKE 2024  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są cztery okręgi: o_1, o_2, o_3, o_4 o równaniach: 

o_1: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 1

o_2: (x+1)^2 + (y+2)^2 = 9

o_3: (x-3)^2 + (y-4)^2 = 4

o_4: (x+3)^2 + (y+4)^2 = 16

Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osami układu współrzędnych (x, y) jest 

A.    o_1                                 B.    o_2                                              C.    o_3                                          D.    o_4

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 24 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 24 Grudzień CKE 2024  Stereometria Ostrosłupy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \alpha, że tg \alpha = 3.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa 

A.    3                                 B.    6                                              C.    6 \sqrt{2}                                          D.    12

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 25 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 25 Grudzień CKE 2024  Stereometria Graniastosłupy

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość p.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa 

A.    p^3 - 3p^2 + 2p                                 
B.    p^3 + 3p^2 + 2p                                             
C.    p^3 - 6p^2 - 8p                                          
D.    p^3 - 6p^2 + 8p

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 26 Grudzień CKE 2024 (0-2)   Zad. 26 Grudzień CKE 2024  Stereometria Bryły obrotowe

Objętość stożka o wysokości 2 jest równa 8\pi.  

Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. 120^{\circ}    

Rozwiązanie

Zadanie 27 Grudzień CKE 2024 (0-1)   Zad. 27 Grudzień CKE 2024  Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry 0, 1, 2, 3 (np. 12303, 11111 ) jest 

A.    32                                 B.    384                                              C.    512                                          D.    576

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 28 Grudzień CKE 2024 (0-2)   Zad. 28 Grudzień CKE 2024  Prawdopodobieństwo

Dane są dwa zbiory: C = {{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}} oraz D = {{7, 8, 9, 10}}.

Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez 4. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P(A) = \frac{11}{24}    

Rozwiązanie

Zadanie 29 Grudzień CKE 2024 (0-2)   Zad. 29 Grudzień CKE 2024  Statystyka

Do szkolnego koła czytelniczego należy 50 uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiano wyniki zebrane przez opiekuna 

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 

1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ……

2. Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ….. .

Pokaż odpowiedź

ODP. Ad 1. 6, 38; Ad 2. 6,5    

Rozwiązanie

Zadanie 30 Grudzień CKE 2024 (0-4)   Zad. 30 Grudzień CKE 2024  Optymalizacja i rachunek różniczkowy 

Rozważmy wszystkie prostopadłościany ABCDFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od długości AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek).

Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.  

Pokaż odpowiedź

ODP. P(x) = -26x^2 + 96x,   D = (0, 3), x = \frac{24}{13}     

Rozwiązanie