Maj CKE 2024

Arkusz maturalny z matematyki Maj 2024 tutaj lub w formie prezentacji tutaj.

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj  lub w jednym filmie —> tutaj 

Zadanie 1 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 1 Maj CKE 2024  Równania i nierówności Wartość bezwzględna

Dana jest nierówność

|x - 1| \ge 3

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich licz rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych 

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

 

Zadanie 2 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 2 Maj CKE 2024  Liczby rzeczywiste

Liczba (\frac{1}{16})^8 \cdot 8^{16} jest równa A.    2^{24}                                 B.    2^{16}                                              C.    2^{12}                                           D.    2^8

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 3 Maj CKE 2024 (0-2)   Zad. 3 Maj CKE 2024  Wyrażenia algebraiczne Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 1 liczba n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Pokaż odpowiedź

DOWÓD   

Rozwiązanie

Zadanie 4 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 4 Maj CKE 2024  Liczby rzeczywiste Logarytmy

Liczba log_{\sqrt{3}} 9 jest równa A.    2                                                  B.    3                                                 C.    4                                                 D.    9

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 5 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 5 Maj CKE 2024  Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia

Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej  b wartość wyrażenia (2a + b)^2 - (2a - b)^2 jest równa wartości wyrażenia A.    8a^2                                                  B.    8ab                                        C.    -8ab                                         D.    2b^2

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 6 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 6 Maj CKE 2024  Równania i nierówności  Nierówności liniowe

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

1 - \frac{3}{2} x < \frac{2}{3} - x

jest przedział A.    (-\infty, -\frac{2}{3})                                   B.    (-\infty, \frac{2}{3})                        C.    (-\frac{2}{3}, + \infty)                        D.    (\frac{2}{3}, + \infty)

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 7 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 7 Maj CKE 2024   Równania i nierówności Równania wymierne

Równanie  \frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych A.   nie ma rozwiązania B.   ma dokładnie jedno rozwiązanie:  ( -1). C.   ma dokładnie dwa rozwiązania: ( -2) oraz 3 D.   ma dokładnie trzy rozwiązania: ( -1), ( -2) oraz 3

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 8 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 8 Maj CKE 2024   Równania i nierówności Wielomiany

Dany jest wielomian W(x) = 3x^3 + 6x^2 + 9x. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F   

Rozwiązanie

Zadanie 9 Maj CKE 2024 (0-3)   Zad. 9 Maj CKE 2024   Równania i nierówności Wielomiany

Rozwiąż równanie

x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP.  x = -\sqrt{3}, x = \sqrt{3}, x = 2    

Rozwiązanie

Zadanie 10 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 10 Maj CKE 2024  Układy równań

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5 \% drzew w pierwszym sadzie i 10 \% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzono. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60 \% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.   Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest A.    \left\{{\begin{array} 1x + y = 1960\\ 0,6 \cdot 0,95x = 0,9y \end{array}\right B.    \left\{{\begin{array} 1x + y = 1960 \\ 0,95x = 0,6 \cdot 0,9y\end{array}\right C.    \left\{{\begin{array} 1x + y = 1960 \\ 0,05x = 0,6 \cdot 0,1y \end{array}\right D.    \left\{{\begin{array} 1x + y = 1960 \\ 0,4 \cdot 0,95x = 0,9y \end{array}\right

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 11 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 11 Maj CKE 2024  Układy równań  Geometria analityczna

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych ukłądów A-D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A.    \left\{{\begin{array} 1y = -\frac{3}{2}x + 3\\ y = -\frac{3}{2} x - 1 \end{array}\right B.    \left\{{\begin{array} 1y = \frac{3}{2}x + 3\\ y = -\frac{2}{3} x - 1 \end{array}\right C.    \left\{{\begin{array} 1y = \frac{3}{2}x + 3\\ y = \frac{3}{2} x - 1 \end{array}\right D.    \left\{{\begin{array} 1y = -\frac{3}{2}x - 3\\ y = \frac{3}{2} x + 1 \end{array}\right

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 12 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 12 Maj CKE 2024   Funkcje Funkcja liniowa

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (-2k + 3)x + k - 1, gdzie k \in R. Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału A.    (-\infty, 1)                                   B.    (-\infty, -\frac{3}{2})                        C.    (1, + \infty)                        D.    (\frac{3}{2}, + \infty)

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 13 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 13 Maj CKE 2024   Funkcje Funkcja liniowa

Funkcje liniowe f oraz g, określone wzorami f(x) = 3x + 6 oraz g(x) = ax + 7, mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy A.    (- \frac{7}{2})                                                  B.    (- \frac{2}{7})                                             C.    \frac{2}{7}                                             D.    \frac{7}{2}

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 14.1 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 14.1 Maj CKE 2024   Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.  Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) \ge 0 jest przedział …………………………………..

Pokaż odpowiedź

ODP.  x \in [-2; 4]    

Rozwiązanie

Zadanie 14.2 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 14.2 Maj CKE 2024   Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem A.    f(x) = -(x + 1)^2 -9                                                                  B.    f(x) = -(x - 1)^2 + 9 C.    f(x) = -(x - 1)^2 -9                                                                 D.    f(x) = -(x + 1)^2 + 9

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 14.3 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 14.3 Maj CKE 2024   Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite Dla funkcji f prawdziwa jest równość A.    f (-4) = f (6)                                                                  B.    f (-4) = f (5) C.    f (-4) = f (4)                                                                 D.    f (-4) = f (7)

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 14.4 Maj CKE 2024 (0-2)   Zad. 14.4 Maj CKE 2024   Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite Funkcje kwadratowe g oraz h są określone za pomocą funkcji f (zobacz rysunek) następująco g(x) = f(x + 3),   h(x) = f( -x). Na rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji g oraz fragment wykresu funkcji h. Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji g oraz h przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. 

Pokaż odpowiedź

ODP. A i E   

Rozwiązanie

Zadanie 15 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 15 Maj CKE 2024   Ciągi

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (-1)^n \cdot (n - 5) dla każdej liczby naturalnej n \ge 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F   

Rozwiązanie

Zadanie 16 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 16 Maj CKE 2024   Ciągi  Ciąg geometryczny

Trzywyrazowy ciąg (12, 6, 2m - 1) jest geometryczny. Dokończ zdanie. wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.  Ten ciąg jest

Pokaż odpowiedź

ODP. B – 2   

Rozwiązanie

Zadanie 17 Maj CKE 2024 (0-2)   Zad. 17 Maj CKE 2024   Ciągi  Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n \ge 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (-165). Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP.  r = (- 2)    

Rozwiązanie

Zadanie 18 Maj CKE 2024 (0-2)   Zad. 18 Maj CKE 2024   Trygonometria

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) kaznaczono kąt o mierze \alpha taki, że tg \alpha = - 3 oraz 90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} (zobacz rysunek). Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.  Prawdziwe są zależności:………….  oraz ……………. A.    sin \alpha < 0                                                                                                  B.    sin \alpha \cdot cos \alpha < 0 C.    sin \alpha \cdot cos \alpha > 0                                                                                  D.    cos \alpha > 0 E.    sin \alpha = - \frac{1}{3} cos \alpha                                                                                     F.    sin \alpha = - 3 cos \alpha

Pokaż odpowiedź

ODP. B oraz F   

Rozwiązanie

Zadanie 19 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 19 Maj CKE 2024   Trygonometria

Liczba sin^3 20^{\circ} + cos^2 20^{\circ} \cdot sin 20^{\circ} jest równa A.    cos 20^{\circ}                                                                                                  B.    sin 20^{\circ} C.    tg 20^{\circ}                                                                                                    D.    sin 20^{\circ} \cdot cos 20^{\circ}

Pokaż odpowiedź

ODP. B     

Rozwiązanie

Zadanie 20 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 20 Maj CKE 2024   Planimetria

Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a\ne b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, żę |KL| = c, |NL| = d oraz |MN| = e (zobacz rysunek). W trójkącie KLM prawdziwa jest równość A.    a \cdot b = c \cdot d                                                                                                  B.    a \cdot d = b \cdot c C.    a \cdot c = b \cdot d                                                                                                    D.    a \cdot b = e \cdot e

Pokaż odpowiedź

ODP. B     

Rozwiązanie

Zadanie 21 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 21 Maj CKE 2024   Planimetria

Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz kącie między nimi o mierze 120^{\circ}. Pole tego równoległoboku jest równe A.    12                                                  B.    12\sqrt3}                                             C.    6                                             D.    6 \sqrt{3}

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 22 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 22 Maj CKE 2024   Planimetria

W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S, kąt ACB ma miarę 42^{\circ} (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego BAS jest równa A.    42^{\circ}                                                  B.    45^{\circ}                                             C.    48^{\circ}                                             D.    69^{\circ}

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 23 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 23 Maj CKE 2024   Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są okreslone równaniami

k: y = (m + 1)x + 7

l: y = - 2x + 7

Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa A.    (- \frac{1}{2})                                                  B.    \frac{1}{2}                                             C.    (- 3)                                             D.    1

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 24 Maj CKE 2024 (0-2)   Zad. 24 Maj CKE 2024   Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A= (-2, 6) oraz B = (10, 2). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P = (6, 7). Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP.  |BC| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}    

Rozwiązanie

Zadanie 25.1 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 25.1 Maj CKE 2024   Stereometria Graniastosłupy

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15 \sqrt{3}. Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A.    36 \sqrt{10}                                                  B.    60                                             C.    6 \sqrt{10}                                             D.    360

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 25.2 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 25.2 Maj CKE 2024   Stereometria Graniastosłupy

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 26 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 26 Maj CKE 2024   Stereometria Ostrosłupy

Ostrosłup F_1 jest podobny do strosłupa F_2 . Objętość ostrosłupa F_1 jest równa 64. Objętość ostrosłupa F_2 jest równa 512. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.   Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_1 jest równy ……….. .

Pokaż odpowiedź

ODP. 4   

Rozwiązanie

Zadanie 27 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 27 Maj CKE 2024   Kombinatoryka

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa A.    4                                                  B.    10                                             C.    24                                             D.    16

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 28 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 28 Maj CKE 2024   Statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c, jest równa 9. Średnia arytmetyczna sześciu liczb : a, a, b, b, c, c, jest równa A.    9                                                  B.    6                                             C.    4,5                                             D.    18

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 29 Maj CKE 2024 (0-1)   Zad. 29 Maj CKE 2024   Statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi liczbowej podano oceny, które uzyskali uczniowie klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną oceną. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A.    4,5                                                  B.    4                                             C.    3,5                                             D.    3

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 30 Maj CKE 2024 (0-2)   Zad. 30 Maj CKE 2024   Prawdopodobieństwo

Dany jest pięcioelementowy zbiór K = {5, 6, 7, 8, 9}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P(A) = \frac{13}{25}  

Rozwiązanie

Zadanie 31 Maj CKE 2024 (0-4)   Zad. 31 Maj CKE 2024   Optymalizacja i rachunek różniczkowy

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ściankach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.  

Pokaż odpowiedź

ODP.  x = 4,5m oraz y = 3m. 

Rozwiązanie