Matura z matematyki Maj CKE 2025

Arkusz maturalny z matematyki Maj 2025 tutaj lub w formie prezentacji tutaj.

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Zadanie 1 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 1 MAJ CKE 2025 Liczby rzeczywiste

Liczba $(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2$ jest równa

A. $16$ B. $18$ C. $30$ D. $34$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 2 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 2 MAJ CKE 2025 Liczby rzeczywiste

Liczba $\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}$ jest równa

A. $30$ B. $31$ C. $5^{12}$ D. $5^{27}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 3 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 3 MAJ CKE 2025 Liczby rzeczywiste Logarytmy

Liczba $log_3 108 - 2log_3 2$ jest równa

A. $3$ B. $9$ C. $log_3 104$ D. $2log_3 54$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 4 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 4 MAJ CKE 2025 Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x +2)^2 - (2x - 3)^2$ jest równa wartości wyrażenia

A. $5x^2$
B. $5x^2 + 13$
C. $5x^2 +24x - 5$
D.    $5x^2 + 24x - 13$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 5 MAJ CKE 2025 (0-2) Zad. 5 MAJ CKE 2025 Liczby rzeczywiste Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4.$

Pokaż odpowiedź

DOWÓD

Rozwiązanie

Zadanie 6 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 6 MAJ CKE 2025 Równania i nierówności Nierówności liniowe

Dana jest nierówność

$3 - 2(1 - 2x) \ge 2x - 17$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 7 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 7 MAJ CKE 2025 Równania i nierówności

Równanie $2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

A. dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $0.$
B. dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $2.$
C. trzy rozwiązania: $(-5), (-3)$ oraz $0.$
D. cztery rozwiązania: $(-5), (-3), 0$ oraz $5.$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 8 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 8 MAJ CKE 2025 Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia

$\frac{x^2 +x}{x^2 +4x +4} \cdot \frac{x + 2}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

A. $\frac{x+2}{4x +4}$ B. $\frac{x + 1}{4x +5}$ C. $\frac{x + 1}{x + 2}$ D. $\frac{2x}{x + 2}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 9 MAJ CKE 2025 (0-2) Zad. 9 MAJ CKE 2025 Układy równań

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę $1 200 000$ złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów $A$ i $B.$ W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie $146700$ złotych – zespół $A$ wykorzystał $13\%$ przyznanych mu środków, a zespół $B$ wykorzystał $11 \%$ przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi $A$ na realizację projektu badawczego.

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. 735 000 zł

Rozwiązanie

Zadanie 10 MAJ CKE 2025 (0-2) Zad. 10 MAJ CKE 2025 Równania i nierówności Nierówności kwadratowe

Rozwiąż nierówność

$3(2x^2 + 1) < 11x$

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

ODP. $x \in (\frac{1}{3}; \frac{3}{2})$

Rozwiązanie

Zadanie 11 MAJ CKE 2025 (0-4) Zad. 11 MAJ CKE 2025 Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \left\{{\begin{array} 1 x + 5 ~~ dla ~~~~ x \in [-4, -2] \\ 3 ~~ dla ~~~~ x \in (-2 , 2] \\ -3x + 9 ~~ dla ~~~~ x \in (2 , 4) \end{array}\right$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zadania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ………………..
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ……………. .
3. Zbiorem wszytskich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dadatnie, jest przedział ……….. .
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział ……… .

Pokaż odpowiedź

ODP. $1. [-4,4) ~~~~ 2. (-3, 3] ~~~~ 3. [-4, 3) ~~~~ 4. [-2, 2]$

Rozwiązanie

Zadanie 12.1 MAJ CKE 2025 (0-2) Zad. 12.1 MAJ CKE 2025 Funkcje Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6).$ Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, 3).$

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $y = - \frac{1}{3} (x - 3)^2 + 6$

Rozwiązanie

Zadanie 12.2 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 12.2 MAJ CKE 2025 Funkcje Funkcja kwadratowa

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

A. $x = 3$ B. $x = -3$ C. $y = 6$ D. $y = - 6$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 12.3 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 12.3 MAJ CKE 2025 Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x) -3.$

Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g.$

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $x_1 + x_2$ jest równa …….. .

Pokaż odpowiedź

ODP. 6

Rozwiązanie

Zadanie 13 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 13 MAJ CKE 2025 Funkcje Funkcja liniowa

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (3 - m)x - 4.$

Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego.

A. $(-3)$ B. $0$ C. $3$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 14.1 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 14.1 MAJ CKE 2025 Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

$\left\{{\begin{array} 1a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 ~~~~~~~~ dla ~~każdej ~~liczby ~~ naturalnej ~~ n \ge 1 \end{array}\right$

Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $4$ B. $5$ C. $7$ D. $11$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 14.2 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 14.2 MAJ CKE 2025 Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

$\left\{{\begin{array} 1a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 ~~~~~~~~ dla ~~każdej ~~liczby ~~ naturalnej ~~ n \ge 1 \end{array}\right$

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, F

Rozwiązanie

Zadanie 15 MAJ CKE 2025 (0-3) Zad. 15 MAJ CKE 2025 Ciągi Ciąg arytmetyczny

Wyznacz wartość $m,$ dla której trzywyrazowy ciąg

$(2m + 11, m^2 + 3, 5 - m)$

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. m = 2,5

Rozwiązanie

Zadanie 16 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 16 MAJ CKE 2025 Ciągi Ciąg geometryczny

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1,$ w którym $a_1 = 27$ oraz $a_2 = 9.$

Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $\frac{1}{3}$ B. $1$ C. $3$ D. $729$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 17 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 17 MAJ CKE 2025 Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3} tg \alpha = 2 sin \alpha.$

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 18.1 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 18.1 MAJ CKE 2025 Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$ a środkowa $CD$ ma długość $5.$ Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$ natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek)

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{3}{4}$ C. $\frac{4}{5}$ D. $\frac{4}{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 18.2 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 18.2 MAJ CKE 2025 Trygonometria

Sinus kąta $\beta$ jest równy:

A. $\frac{2}{\sqrt{13}}$ B. $\frac{3}{\sqrt{13}}$ C. $\frac{5}{2\sqrt{13}}$ D. $\frac{4}{5}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 19 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 19 MAJ CKE 2025 Planimetria

Punkty $A,$ $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O.$

Miara kąta $BCA$ jest równa $50^{\circ}$ (zobacz rysunek)

Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa

A. $20^{\circ}$ B. $35^{\circ}$ C. $40^{\circ}$ D. $50^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 20 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 20 MAJ CKE 2025 Planimetria

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC|=|BC| = 4$ i $|AB| = 3.$

Na boku $BC,$ między punktami $B$ i $C,$ wybrano taki punkt $D,$ że trójkąty $ABC$ i $BDA$ sąpodobne (zobacz rysunek)

Odcinek $BD$ ma długość

A. $2$ B. $2,25$ C. $2,5$ D. $3$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 21 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 21 MAJ CKE 2025 Planimetria

Dany jest trójkąt $ABC,$ w którym $|AB| = 11, |BC| = 12$ oraz $|\angle ABC| = 60^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Rozwiązanie

Zadanie 22 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 22 MAJ CKE 2025 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD,$ w którym $A = (4, -1).$ Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S = (1,3).$

Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość

A. $5$ B. $7$ C. $10$ D. $14$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 23 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 23 MAJ CKE 2025 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD,$ w którym proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k: y = (m - 2)x + 5$

$l: y = -4x + (m + 3)$

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

A. $(-4)$ B. $(-2)$ C. $2$ D. $5$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 24 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 24 MAJ CKE 2025 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P = (0, 0)$ leży na okręgu $O$ o środku w punkcie $S = (2, 4).$

Okrąg $O$ jest określony równaniem

A.   $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\sqrt{5}$
B. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$
C.   $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 2\sqrt{5}$
D. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 20$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 25 MAJ CKE 2025 (0-3) Zad. 25 MAJ CKE 2025 Stereometria Bryły obrotowe

Tworząca stożka ma długość $8.$ Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^{\circ}.$

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $V = 64 \pi$

Rozwiązanie

Zadanie 26 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 26 MAJ CKE 2025 Stereometria Graniastosłupy

Objętość sześcianu jest równa $729.$

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A. $9\sqrt{3}$ B. $9\sqrt{2}$ C. $3\sqrt{3}$ D. $3\sqrt{2}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 27 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 27 MAJ CKE 2025 Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0,$ jest

A. $45$ B. $50$ C. $54$ D. $81$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 28 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 28 MAJ CKE 2025 Prawdopodobieństwo

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma wyrzuconych oczek będzie równa $11.$

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

A. $\frac{1}{36}$ B. $\frac{6}{36}$ C. $\frac{11}{36}$ D. $\frac{2}{36}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 29 MAJ CKE 2025 (0-1) Zad. 29 MAJ CKE 2025 Statystyka

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $1, 2, 3, 4, 5, x, y$ jest równa $3.$

Suma $x + y$ jest równa

A. $4$ B. $5$ C. $6$ D. $7$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 30 MAJ CKE 2025 (0-2) Zad. 30 MAJ CKE 2025 Statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej $24$ uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa…….
2. dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ……..

Pokaż odpowiedź

ODP. 1. M = 4,5 2. D = 6

Rozwiązanie

Zadanie 31 MAJ CKE 2025 (0-4) Zad. 31 MAJ CKE 2025 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Rozważmy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH,$ w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ (zobacz rysunek)

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB.$

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P.$ Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $P(x) = -2x^2 + 22x + 88,$ $D = (0; 11),$ $x = 5,5$