Matura z matematyki – Maj CKE 2026

rozwiązania wszystkich zadań

Przygotuj się do matury z matematyki z arkuszem Maj CKE 2026 – poziom podstawowy.

Znajdziesz tutaj wszystkie zadania maturalne wraz z odpowiedziami oraz dokładnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Obejrzyj filmy, sprawdź swoje obliczenia i powtórz najważniejsze zagadnienia przed maturą.

Ucz się razem z Matematyczną Magdaleną!

Arkusz maturalny z matematyki Maj 2026 tutaj

POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj

Zadanie 1 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 1 MAJ CKE 2026 Liczby rzeczywiste

Liczba $\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} + 2^{-1}$ jest równa

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 2 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 2 MAJ CKE 2026 Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku $10 000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $6 \%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

A. $1200$ zł B. $1236$ zł C. $1836$ zł D. $3600$ zł

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 3 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 3 MAJ CKE 2026 Liczby rzeczywiste

Liczba $\sqrt{5 \sqrt {5}}$ jest równa

A. $5^{\frac{1}{4}$ B. $5^{\frac{1}{2}$ C. $5^{\frac{3}{4}$ D. $5$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 4 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 4 MAJ CKE 2026 Liczby rzeczywiste

Liczba $log_8 4 - log_8 32$ jest równa

A. $(-2)$ B. $(-1)$ C. $1$ D. $2$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 5 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 5 MAJ CKE 2026 Liczby rzeczywiste

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, P

Rozwiązanie

Zadanie 6 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 6 MAJ CKE 2026 Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $x^2 + 10x + 25$ dla $x = \sqrt{2} - 5$ jest równa

A. $2$ B. $\sqrt{2}$ C. $2 - 20 \sqrt{2}$ D. $62 - 10 \sqrt{2}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 7 MAJ CKE 2026 (0-2) Zad. 7 MAJ CKE 2026 Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 +21 n$ jest podzielna przez $14.$

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD

Rozwiązanie

Zadanie 8 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 8 MAJ CKE 2026 Równania i nierówności Równania wielomianowe

Dane jest równanie

$3(x + 3)(x - m)(2x + 4) = 0$

gdzie $x$ jest niewiadomą, natomiast $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą.

Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $0.$

Liczba $m$ jest równa

A. $(-7)$ B. $2$ C. $5$ D. $7$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 9 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 9 MAJ CKE 2026 Równania i nierówności Równania wymierne

Rozwiązaniem równania

$\frac{x + 2}{3x - 1} = \frac{2}{5}$

jest liczba

A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{8}{11}$ C. $3$ D. $12$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 10 MAJ CKE 2026 (0-2) Zad. 10 MAJ CKE 2026 Równania i nierówności Nierówności kwadratowe

Rozwiąż nierówność

$3x^2 + 4x \ge 6x + 8$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x \in ( - \infty; - \frac{4}{3} ] \cup [2; + \infty)$

Rozwiązanie

Zadanie 11 MAJ CKE 2026 (0-2) Zad. 11 MAJ CKE 2026 Układy równań

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

Na to przedstawienie sprzedano łącznie $200$ biletów.

Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości $25 \%$ wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało $4665$ zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. 78 biletów ulgowych

Rozwiązanie

Zadanie 12.1 MAJ CKE 2026 (0-2) Zad. 12.1 MAJ CKE 2026 Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco

$f(x) = \left\{{\begin{array} 1 x + 2 ~~ dla ~~~~ x \in [-4, 2] \\ - x + 5 ~~ dla ~~~~ x \in (2 , 5) \end{array}\right$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zadania były prawdziwe.
1. Rozwiązaniem równania $f(x) = 3$ jest liczba ………………..
2. Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[2, 3]$ jest równa ……………. .

Pokaż odpowiedź

ODP. Ad 1. 1 Ad 2. 4

Rozwiązanie

Zadanie 12.2 MAJ CKE 2026 (0-2) Zad. 12.2 MAJ CKE 2026 Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco

$f(x) = \left\{{\begin{array} 1 x + 2 ~~ dla ~~~~ x \in [-4, 2] \\ - x + 5 ~~ dla ~~~~ x \in (2 , 5) \end{array}\right$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zadania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ………………..
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1,$ jest przedział ……………. .

Pokaż odpowiedź

ODP. Ad 1. [-2, 4] Ad 2. (-1, 4)

Rozwiązanie

Zadanie 13.1 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 13.1 MAJ CKE 2026 Funkcje Funkcja liniowa

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = ax + b,$ gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f.$ Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, P

Rozwiązanie

Zadanie 13.2 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 13.2 MAJ CKE 2026 Funkcje Funkcja liniowa

Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

A. $(-\frac{3}{2})$ B. $(-\frac{2}{3})$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{3}{2}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 14 MAJ CKE 2026 (0-4) Zad. 14 MAJ CKE 2026 Funkcje Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (3, -2).$

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x) = f(x+1).$

Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0.$

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $f(x) = \frac{1}{2} x^2 - 3x + \frac{5}{2}.$

Rozwiązanie

Zadanie 15 MAJ CKE 2026 (0-3) Zad. 15 MAJ CKE 2026 Ciągi Ciąg geometryczny

Ciąg $(a_n)$ jest okreslony wzorem $a_n = 3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k )$ jest geometryczny.

Oblicz $k.$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. k = 41

Rozwiązanie

Zadanie 16 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 16 MAJ CKE 2026 Ciągi Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

W tym ciągu $a_1 = 1$ oraz $a_5 = 17.$

Dziewiąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $29$ B. $33$ C. $34$ D. $37$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 17 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 17 MAJ CKE 2026 Ciągi Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3 \cdot a_6 = 18.$

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedną liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zadanie były prawdziwe.

Iloczyn $a_2 \cdot a_7$ jest równy ……………….. .

Pokaż odpowiedź

ODP. 18

Rozwiązanie

Zadanie 18 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 18 MAJ CKE 2026 Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC,$ w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC| = 2$ i $|AC| = 2 \sqrt{10}.$ Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek)

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

A. $\frac{1}{\sqrt{10}}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{3}{\sqrt{10}}$ D. $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 19 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 19 MAJ CKE 2026 Planimetria

Punkty $A,$ $B,$ $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O.$

Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC.$

Kąt $CDA$ ma miarę $50^{\circ} ,$ a kąt $COB$ ma miarę $30^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

A. $50^{\circ}$ B. $60^{\circ}$ C. $70^{\circ}$ D. $100^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 20 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 20 MAJ CKE 2026 Planimetria

Na płaszczyźnie dane są cztery proste $k,$ $l,$ $m$ oraz $n$ . Proste $k$ oraz $l$ są równoległe.

Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C.$

Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B.$

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie O.

Ponadto $|OA| = 12,$ $|OB| = 6$ oraz $|OC| = 8$ (zobacz rysunek).

Odcinek $OD$ ma długość

A. $4$ B. $9$ C. $10$ D. $16$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 21 MAJ CKE 2026 (0-2) Zad. 21 MAJ CKE 2026 Dowód geometryczny

Dany jest trójkąt $KLM,$ w którym $|KM| = a$ oraz $|LM| = b.$

Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\frac{a}{b}.$

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD

Rozwiązanie

Zadanie 22 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 22 MAJ CKE 2026 Planimetria

W okrąg $O$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $T.$

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedną liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zadanie były prawdziwe.

Bok trójkąta $T$ ma długość ……… .

Pokaż odpowiedź

ODP. 27

Rozwiązanie

Zadanie 23 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 23 MAJ CKE 2026 Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{3 sin \alpha + 4 cos \alpha}{4 cos \alpha} = 6.$

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{5}{8}$ B. $\frac{8}{3}$ C. $\frac{32}{5}$ D. $\frac{20}{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 24.1 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 24.1 MAJ CKE 2026 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A = (0, -3),$ $B = (2, 1)$ oraz $C = (0, 2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

A. $3$ B. $5$ C. $6$ D. $10$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 24.2 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 24.2 MAJ CKE 2026 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A = (0, -3),$ $B = (2, 1)$ oraz $C = (0, 2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ ma współrzędne

A. $(\frac{2}{3}, 0)$ B. $(- \frac{1}{2}, 0)$ C. $(0, - \frac{2}{3})$ D. $(0, - \frac{1}{2})$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 25 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 25 MAJ CKE 2026 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $O$ o środku w punkcie $S = (1, -3)$ i o promieniu $5.$

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F

Rozwiązanie

Zadanie 26 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 26 MAJ CKE 2026 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = - \frac{1}{3} x + 2.$ Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $(2, -2).$

Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie

A. $(0, - 3)$ B. $(0, - \frac{1}{2})$ C. $(0, - 1)$ D. $(0, - \frac{4}{3})$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 27 MAJ CKE 2026 (0-2) Zad. 27 MAJ CKE 2026 Stereometria Ostrosłupy

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8 \sqrt{3}.$

Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^{\circ}.$

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. V = 128

Rozwiązanie

Zadanie 28 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 28 MAJ CKE 2026 Stereometria Bryły obrotowe

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

A. $\frac{1}{12}$ B. $\frac{1}{6}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{4}{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 29 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 29 MAJ CKE 2026 Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ (np.: $321, 555),$ jest

A. $6 \cdot 7 \cdot 3$ B. $6 \cdot 7 \cdot 7$ C. $7 \cdot 7 \cdot 3$ D. $7 \cdot 7 \cdot 7$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 30 MAJ CKE 2026 (0-2) Zad. 30 MAJ CKE 2026 Prawdopodobieństwo

Dane są dwa zbiory cyfr : $X = \{ 1, 3, 5, 7, 9, \}$ oraz $Y = \{ 0, 2, 4, 6, 8 \}.$

Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X,$ a następnie losujemy jedną cyfrę ze zboru $Y.$

Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru $X$ jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru $Y$ jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A,$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez $6.$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $P(A) = \frac{9}{25}$

Rozwiązanie

Zadanie 31 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 31 MAJ CKE 2026 Statystyka

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy $IV A$ oraz klasy $IV B.$ Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.

Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, P

Rozwiązanie

Zadanie 32 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 32 MAJ CKE 2026 Statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a, b , c,$ jest równa $2.$

Średnia arytmetyczna czterech liczb: $d, e, f, g,$ jest równa $5,5.$

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $a, b, c, d, e, f, g,$ jest równa

A. $3,5$ B. $3,75$ C. $4$ D. $4,25$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 33.1 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 33.1 MAJ CKE 2026 Funkcje Funkcja kwadratowa

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.

Przyjmijmy, że wysokość $h,$ na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t,$ jest określona wzorem

$h(t) = -4,9t^2 + 14,7 t$

gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach $(s)$ i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

A. $t = 1,5 s$ B. $t = 2 s$ C. $t = 2,5 s$ D. $t = 3 s$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 33.2 MAJ CKE 2026 (0-1) Zad. 33.2 MAJ CKE 2026 Funkcje Funkcja kwadratowa

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.

Przyjmijmy, że wysokość $h,$ na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t,$ jest określona wzorem

$h(t) = -4,9t^2 + 14,7 t$

gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach $(s)$ i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

A. $t = 1,5 s$ B. $t = 2 s$ C. $t = 2,5 s$ D. $t = 3 s$

Pokaż odpowiedź

ODP. A