Marzec CKE 2022

Arkusz pokazowy z matematyki Marzec CKE 2023 tutaj lub w formie prezentacji tutaj

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście -> tutaj lub w jednym filmie -> tutaj

Zadanie 1 (0-1) Zad. 1 Marzec CKE 2022 Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100}$ jest równa

A. $6^{600}$ B. $6^{101}$ C. $36^{100}$ D. $36^{600}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 2 (0-1) Zad. 2 Marzec CKE 2022 Liczby rzeczywiste Logarytmy

Wartość wyrażenia $log_7 98 - log_7 2$ jest równa

A. $7$ B. $2$ C. $1$ D. $(-1)$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 3 (0-1) Zad. 3 Marzec CKE 2022 Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie wstępuje cyfra $2,$ jest

A. $900$ B. $729$ C. $648$ D. $512$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Zadanie 4 (0-1) Zad. 4 Marzec CKE 2022 Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wartość wyrażenia $(3 + 4a)^2 - (3-4a)^2$ jest równa

A. $32a^2$ B. $0$ C. $48a$ D. $8a^2$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Zadanie 5 (0-2) Zad. 5 Marzec CKE 2022 Układy równań Planimetria

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek)

Dokończ zdanie. wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Układem równań, w których zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ

A. $\left\{{\begin{array} 1(\alpha + \beta ) + \beta = 90^{\circ} \\ \alpha + \beta = 2\alpha - \beta \end{array}\right$

B. $\left\{{\begin{array} 1(\alpha + \beta ) + \beta = 180^{\circ} \\ \alpha + \beta = 2\alpha - \beta \end{array}\right$

C. $\left\{{\begin{array}1(\alpha + \beta ) + \beta = 180^{\circ} \\ \beta = 2\alpha - \beta \end{array}\right$

D. $\left\{{\begin{array} 1\alpha + \beta = 90^{\circ} \\ \beta = 2\alpha - \beta \end{array}\right$

E. $\left\{{\begin{array} 1\alpha + \beta = 2\alpha - \beta \\ 180^{\circ} -(2\alpha - \beta) = \beta \end{array}\right$

F. $\left\{{\begin{array} 13\alpha + 2\beta = 360^{\circ} \\ 2\alpha - \beta = 2\beta \end{array}\right$

Pokaż odpowiedź

ODP. B i E

Zadanie 6 (0-1) Zad. 6 Marzec CKE 2022 Funkcje Wielomiany

Dany jest wielomian

$W(x) = 3x^3 + kx^2 - 12x -7k +12$

gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba $(-2)$ jest pierwiastkiem tego wielomianu

Liczba $k$ jest równa

A. $2$ B. $4$ C. $6$ D. $8$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 7 (0-1) Zad. 7 Marzec CKE 2022 Równania i nierówności Równania wymierne

Równanie

$\frac {(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)} = 0$

ma w zbiorze liczb rzeczywistych

A. dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2.$

B. dokładnie dwa rozwiązania: $x = 1,5,$ $x = 2.$

C. dokładnie trzy rozwiązania: $x = - 6,$ $x = 0,$ $x = 2.$

D. dokładnie cztery rozwiązania: $x = - 6,$ $x = 0,$ $x = 1,5,$ $x = 2.$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 8 (0-1) Zad. 8 Marzec CKE 2022 Równania i nierówności Wartość bezwzględna

Spośród rysunków A-D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

$|x + 1| \le 2$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 9 (0-2) Zad. 9 Marzec CKE 2022 Liczby rzeczywiste Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $n^2 + 2023$ jest podzielna przez $8.$

Pokaż odpowiedź

DOWÓD

Zadanie 10.1 (0-1) Zad. 10.1 Marzec CKE 2022 Funkcje Funkcja kwadratowa

Dana jest funkcja kwadratowa $f,$ której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f,$ oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x) = f(x-2).$

Wykres funkcji $g$ przedstawiono na rysunku

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Zadanie 10.2 (0-1) Zad. 10.2 Marzec CKE 2022 Funkcje Funkcja kwadratowa

Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności

$f(x) \le 0$

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Pokaż odpowiedź

$(-\infty; -1] \cup [3; \infty )$

Zadanie 10.3 (0-3) Zad. 10.3 Marzec CKE 2022 Funkcje Funkcja kwadratowa

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej.

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$y = -2(x - 1)^2 + 8$

Zadanie 11 (0-1) Zad. 11 Marzec CKE 2022 Funkcje Funkcja liniowa

Dana jest funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x)= ax +b,$ gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji $f$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na podanym rysunku

Współczynniki $a$ i $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki

A. $a > 0$ i $b > 0$ B. $a > 0$ i $b < 0$

C. $a < 0$ i $b > 0$ D. $a < 0$ i $b < 0$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 12 (0-1) Zad. 12 Marzec CKE 2022 Funkcje Funkcja liniowa

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany $P$ swojego produktu na liczbę $Q$ kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o $1$ jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o $3$ jednostki. Ponadto przy cenie równej $5$ jednostek liczba kupujących jest równa $12$ jednostek.

Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny ma wzór

A. $Q= -0,9P^2 + 6,9$ B. $Q= -3P + 27$

C. $P= - 0,9Q^2 + 6,9$ D. $P= -3Q + 27$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 13.1 (0-1) Zad. 13.1 Marzec CKE 2022 Funkcje

Czas $T$ półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki.

Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa $m$ leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}$

gdzie:

$m_0$ – masa przyjętej dawki leku

$T$ – czas półtrwania leku

$t$ – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.

Pacjent otrzymuje co $4$ dni o tej samej godzinie dawkę $m_0 = 100$ $mg$ leku $L.$ Czas półtrwania leku w organizmie jest równy $T = 4$ doby.

Wykres zależności $M$ leku $L$ w organizmie tego pacjenta od czasu $t,$ liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku.

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 13.2 (0-3) Zad. 13.2 Marzec CKE 2022 Ciągi Ciąg geometryczny

Czas $T$ półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki.

Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa $m$ leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}$

gdzie:

$m_0$ – masa przyjętej dawki leku

$T$ – czas półtrwania leku

$t$ – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

Pacjent otrzymuje co $4$ dni o tej samej godzinie dawkę $m_0 = 100$ $mg$ leku $L.$ Czas półtrwania leku w organizmie jest równy $T = 4$ doby.

Oblicz masę leku $L$ w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. wynik podaj w zaokrągleniu do $0,1$ $mg.$

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

$99.9$ $mg$

Zadanie 14 (0-1) Zad. 14 Marzec CKE 2022 Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku $20 000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $3 \%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Po $2$ latach oszczędzania w tym banku kwaota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

A. $20 000 \cdot (1,12)^2$ B. $20 000 \cdot 2 \cdot 1,03$ C. $20 000 \cdot 1,06$ D. $20 000 \cdot (1,03)^2$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Zadanie 15 (0-1) Zad. 15 Marzec CKE 2022 Ciągi Ciąg arytmetyczny

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = -3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F

Zadanie 16 (0-1) Zad. 16 Marzec CKE 2022 Trygonometria

Dany jest trójkąt $ABC,$ w którym $|AB| = 6,$ $|BC |= 5,$ $|AC| = 10.$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, P

Zadanie 17 (0-1) Zad. 17 Marzec CKE 2022 Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim ukłądzie współrzędnych $(x, y),$ dany jest okrąg o środku $S = (2, -5)$ i promieniu $r = 3.$

Równanie tego okręgu ma postać

A. $(x-2)^2 + (y+5)^2 = 9$ B. $(x+2)^2 + (y-5)^2 = 3$

C. $(x-2)^2 + (y+5)^2 = 3$ D. $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 9$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 18 (0-1) Zad. 18 Marzec CKE 2022 Planimetria

Odcinki $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $O.$ W trójkątach $ABO$ i $ODC$ zachodzą związki: $|AO|=5,$ $|BO| = 3,$ $|OC| = 10,$ $|\sphericalangle OAB|=|\sphericalangle OCD|$ (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku $|OD|$ trójkąta $ODC.$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$|OD| = 6$

Zadanie 19 (0-2) Zad. 19 Marzec CKE 2022 Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = -3x + 1.$

19.1 Jedną z prostych równoległych do prostej $k$ jest prosta o równaniu

A. $y = 3x+2$ B. $y = -3x +2$ C. $y = \frac{1}{3} x + 1$ D. $y = - \frac{1}{3} x +1$

19.2 Jedną z prostych prostopadłych do prostej $k$ jest prosta o równaniu

E. $y = \frac{1}{3} x +2$ F. $y = -\frac{1}{3}x +2$ G. $y = 3 x + 1$ H. $y = - 3 x +1$

Pokaż odpowiedź

ODP. B i E

Zadanie 20 (0-1) Zad. 20 Marzec CKE 2022 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD.$ Wierzchołki $A = (-2, 1)$ i $C = (4, 5)$ są końcami przekątnej tego kwadratu.

Długość przekątnej kwadratu $ABCD$ jest równa

A. $10$ B. $2\sqrt{13}$ C. $2\sqrt{10}$ D. $8$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 21 (0-1) Zad. 21 Marzec CKE 2022 Planimetria

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu $r = 8$ (zobacz rysunek). Cięciwa $AC$ ma długość $8\sqrt{3} .$

Miara kąta $BAC$ jest równa

A. $30^{\circ}$ B. $45^{\circ}}$ C. $15^{\circ}$ D. $60^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 22 (0-1) Zad. 22 Marzec CKE 2022 Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $4tg \alpha = 3 sin^2 \alpha + 3cos^2 \alpha.$

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{3}{4}$ B. $\frac{4}{3}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 23 (0-1) Zad. 23 Marzec CKE 2022 Planimetria

Dane są dwa trójkąty podobne $ABC$ i $KLM$ o polach rónych – odpowiednio – $P$ oraz $2P.$ Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $x.$

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A oraz B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Obwód trójkąta $KLM$ jest równy

Pokaż odpowiedź

ODP. A – 2

Zadanie 24 (0-1) Zad. 24 Marzec CKE 2022 Planimetria

Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $O.$ Proste $k$ i $l$ są styczne do trgo okręgu w punktach – odpowiednio – $A$ i $B.$ Te proste przecinają się w punkcie $S$ i tworzą kąt o mierze $76^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Miara kąta $OBA$ jest równa

A. $52^{\circ}$ B. $26^{\circ}}$ C. $14^{\circ}$ D. $38^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Zadanie 25 (0-1) Zad. 25 Marzec CKE 2022 Planimetria

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt $ABCD,$ w którym bok $BC$ odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna $AC$ tego prostokąta ma długość $16$ i tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $30^{\circ}$ (zobacz rysunek) .

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

A. $8$ B. $8\sqrt{3}$ C. $2\sqrt{3}$ D. $2$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Zadanie 26 (0-1) Zad. 26 Marzec CKE 2022 Stereometria Ostrosłupy

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCS$ o podstawie $ABC.$ Punkty $D, E$ i $F$ są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych $AS, BS$ i $CS$ (zobacz rysunek).

Stosunek objętości ostrosłupa $DEFS$ do objętości ostrosłupa $ABCS$ jest równy

A. $3 : 4$ B. $1 : 4$ C. $1 : 8$ D. $3 : 8$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Zadanie 27 (0-1) Zad. 27 Marzec CKE 2022 Stereometria Graniastosłupy

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$ (zobacz rysunek)

Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt $\alpha$ pomiędzy ścianą boczną $ACFD$ i przekątną $AE$ ściany bocznej $ABED$ tego graniastosłupa?

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 28 (0-3) Zad. 28 Marzec CKE 2022 Prawdopodobieństwo Kombinatoryka

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od $1000$ dp $9999.$ Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej $3,$ jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdrarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

$P(A) = \frac{10}{9000}$

Zadanie 29 (0-4) Zad. 29 Marzec CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Rozważmy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30^{\circ}.$

Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku.

Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

$P(x) = x\cdot(100-x)\cdot\frac{1}{2};$ $D=(0;100);$ $a=50, b=50;$ $P(50) = 1250$

Zadanie 30.1 (0-1) Zad. 30.1 Marzec CKE 2022 Statystyka

W pewnej grupie $100$ uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.