Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 PP - Matematyczna Magdalena

Arkusz próbnej matury – Marzec SODMiDN w Kielcach 2025

Poziom podstawowy – tutaj

lub w formie prezentacji –> tutaj

Rozwiązania w playliście ——> tutaj

Zadanie 1 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Liczby $(\frac{1}{9})^5 : 27^{-8}$ jest równa

A. $3^{-34}$ B. $9^{14}$ C. $3^{-7}$ D. $9^7$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 2 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Liczby $log_5 75 + \frac{1}{2}log_5 \frac{1}{9}$ jest równa

A. $2$ B. $log_2\frac{226}{3}$ C. $1$ D. $5$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 3 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Liczby $(1 - 2\sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) + 2\sqrt{3}$ jest równa

A. $4- 4 \sqrt{3}$ B. $(-5)$ C. $-4 - \sqrt{3}$ D. $2 + \sqrt{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 4 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n,$ która przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1,$ liczba $n^2 - 2n + 4$ jest podzielna przez $3.$

Pokaż odpowiedź

DOWÓD

Rozwiązanie

Zadanie 5 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi $5\%$ w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Pan Jan złożył w tym banku kwotę $20000$ zł.

Po $3$ latach kapitał pana Jana wzrośnie o

A. $3000$ zł B. $23152,50$ zł C. $23000$ zł D. $3152,50$ zł

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 6 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ oraz $3$ wartość wyrażenia $\frac{x^2 -3x}{x + 2} \cdot \frac{2x + 4}{x - 3}$ jest równa wartości wyrażenia

A. $x^2 - 3$ B. $\frac{2}{x + 2}$ C. $2x$ D. $2x - 6$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 7 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Para liczb $x = 1$ i $y = -2$ jest rozwiązaniem układu równań

$\left\{{\begin{array} 1x + ay = -3\\ bx + y = 2 \end{array}\right$

Gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi.

Wartość wyrażenia $a + b$ jest równa

A. $(-2)$ B. $2$ C. $(-6)$ D. $6$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 8 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-3)

Rozwiąż równanie

$\frac{2x - 1}{2 - x} = \frac{x + 3}{3x - 6}$

Zapisz konieczne założenia i obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x = 0$

Rozwiązanie

Zadanie 9 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-2)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ wartość wyrażenia

$2(a - 3b)^2 - (a - 3b)(a + 3b)$ jest równa wartości wyrażenia

A. $a^2 - 12ab - 9b^2$
B. $a^2 + 3b^2$
C. $a^2 - 27b^2$
D.    $(a - 3b)(a - 9b)$
E. $a^2 - 12ab + 9b^2$
F.    $a^2 - 12ab + 27b^2$
G.    $(a - b)(a - 27b)$

Pokaż odpowiedź

ODP. D i F

Rozwiązanie

Zadanie 10 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Największa liczba całkowita należąca do zbioru rozwiązań nierówności

$(1 - 2x)^2 \ge 4x^2 + 5$

należy do przedziału

A. $(-\infty, -2]$ B. $(-2, -1]$ C. $(-1,6)$ D. $[6, +\infty)$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 11 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-2)

Funkcja $f$ jest określona następująco

$f(x) = \left\{{\begin{array} 1 -2 ~~ dla ~~~~ x \in (0, 1) \\ x - 3 ~~ dla ~~~~ x \in [1 , 5) \\ -0,5x + 4,5 ~~ dla ~~~~ x \in [5, 11] \end{array}\right$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ……………………………..
Zbiorem wszystkich liczb $m,$ dla których równanie $f(x) = m$ ma dokładnie dwa rozwiązania jest przedział ……………..

Pokaż odpowiedź

ODP. 1. [-2;2] 2. [-1,2)

Rozwiązanie

Zadanie 12.1 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ należącej do przedziału $(-6, 6].$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Rozwiązanie

Zadanie 12.2 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ należącej do przedziału $(-6, 6].$

Największą wartością funkcji $f$ w przedziale $[2; 5]$ jest liczba

A. $4$ B. $2$ C. $(-1)$ D. $6$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 12.3 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ należącej do przedziału $(-6, 6].$

Wartość wyrażenia $f(-2) - f(6)$ jest równa

A. $1$ B. $0$ C. $(-7)$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 13 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-2)

Rozwiąż nierówność

$x - 3 \ge 4x^2 -12x$

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

ODP. $x \in [\frac{1}{4}; 3]$

Rozwiązanie

Zadanie 14.1 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

W układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f.$ Wierzchołek $W$ paraboli, która jest wykresem funkcji $f,$ ma współrzędne $(3,4).$ Parabola ta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -5).$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Rozwiązanie

Zadanie 14.2 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Funkcję $f$ można opisać następującym wzorem

A. $f(x) = ( x - 1)(x - 5)$ C. $f(x) = -(x + 1)(x + 5)$
B. $f(x) = (x + 1)(x + 5)$ D. $f(x) = (1 - x)(x - 5)$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 15 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-3)

Wykres funkcji kwadratowej $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $A = (0, -4).$ Punkt $B = (2, 0)$ jest jedynym punktem wspólnym tego wykresu z osią $Ox.$ Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c.$ Oblicz wartości $a, b$ i $c.$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $a = -1, b = 4, c = - 4$

Rozwiązanie

Zadanie 16 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = (-1)^{n - 1} \cdot \frac{n + 3}{3n}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

A. $(-\frac{2}{3})$ B. $\frac{2}{3}$ C. $(-1)$ D. $1$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 17 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Trzywyrazowy ciąg $(2, 4, x + 12)$ jest geometryczny

Liczba $x$ jest równa

A. $(-2)$ B. $(-6)$ C. $6$ D. $(-4)$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 18 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n),$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$ Różnica tego ciągu jest równa $(-2).$ Suma drugiego i piątego wyrazu ciągu $(a_n)$ jest równa $26.$

Wyraz pierwszy tego ciągu jest równy

A. $10$ B. $12$ C. $18$ D. $20$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 19 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Trójkąt $ABC,$ w którym: $|AB| =6\frac{1}{2}, |AC| = 2\frac{1}{2}, |BC| = 6,$ jest

Pokaż odpowiedź

ODP. A – 1

Rozwiązanie

Zadanie 20 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\frac{sin^3\alpha - sin^2 \alpha}{1 - sin\alpha}$ jest równe

A. $sin^2\alpha$ B. $1 - sin^2\alpha$ C. $cos^2\alpha - 1$ D. $cos^2\alpha$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 21 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-3)

Figura $f$ składa się z trójkąta prostokątnego $ABC$ oraz półkola, którego średnicą jest przyprostokątna $AC.$ Długość przeciwprostokątnej $BC$ jest równa $8,$ a miara kąta ostrego $ABC$ jest równa $60^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Oblicz obwód figury $f.$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $12 + 2\sqrt{3}\pi$

Rozwiązanie

Zadanie 22 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Niech $l: y = (4m -1)x + 4$ oraz $k: y = 3x - 4.$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F

Rozwiązanie

Zadanie 23 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Punkt $S= (-2, -5)$ jest środkiem okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ a punkt $A = (1, -1)$ leży na tym okręgu

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Rozwiązanie

Zadanie 24 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Punkty $A, B, C$ leżą na okręgu o środku $O.$ Miara kąta wpisanego $ABC$ jest równa $122^{\circ}.$ (zobacz rysunek).

Miara kąta środkowego $AOC,$ zaznaczonego na rysunku symbolem $\alpha,$ jest równa

A. $120^{\circ}$ B. $116^{\circ}$ C. $68^{\circ}$ D. $122^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 25 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry $0, 1, 2, 3, 4$ (np. 100, 444, 122), jest

A. $100$ B. $48$ C. $75$ D. $60$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 26.1 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Rzucono $30$ razy sześcienną kostką do gry. Wyniki przedstawiono na diagramie.

Liczba rzutów, w których wyrzucono liczbę oczek wyższą od średniego wyniku, jest równa

A. $13$ B. $21$ C. $6$ D. $17$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 26.2 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-1)

Rzucono $30$ razy sześcienną kostką do gry. Wyniki przedstawiono na diagramie.

Mediana liczb wyrzuconych oczek jest równa

A. $3,5$ B. $4$ C. $3$ D. $4,5$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 27 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-2)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o różnych cyfrach, w których każda cyfra jest większa od trzech, wylosowano jedną liczbę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na wylosowaniu liczby, której suma cyfr jest większa od 23. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $P(A) = \frac{1}{20}$

Rozwiązanie

Zadanie 28 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-4)

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $18,$ a jego objętość $24.$ Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $k = 5$

Rozwiązanie

Zadanie 29 Marzec SODMiDN w Kielcach 2025 (0-4)

Pan Alan dysponuje działką w kształcie trapezu równoramiennego $ABCD,$ którego podstawy mają długości $|AB| = 300$ metrów oraz $|CD|=50$ metrów. Z tej działki musi wydzielić plac pod parking w kształcie prostokąta $KLMN$ tak, aby bok $KL$ prostokąta zawierał się w podstawie $AB$ tego trapezu, a wierzchołki $M$ oraz $N$ leżały na jego ramionach – odpowiednio $BC$ oraz $AD.$ Bok $MN$ nie jest zawarty w podstawie $CD$ tego trapezu (zobacz rysunek).