Optymalizacja i rachunek różniczkowy w zadaniach maturalnych

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj

lub w jednym filmie —> tutaj

Zadanie 31 Sierpień CKE 2025 (0-2) Sierpień CKE 2025 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelowa na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że

przy wyjściowej cenie wynoszącej $120$ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5$ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1.$

Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5x$ złotych opisuje funkcja

P(x) = (80 - x)(120 + 5x)

gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x \ge 0$ i $x \le 80.$

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $260$ zł

Rozwiązanie

Zadanie 31 Czerwiec CKE 2025 (0-1) Czerwiec CKE 2025 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki $L25$ na liczbękupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek $L25$ wyraża się wzorem

$Z(x) = (500 + 50x)(16 - x)$

gdzie:

$x$ – kwota obniżki ceny latarki $L25$ (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki $x \ge 1$ i $x \le 14,$

$Z$ – roczny zysk ze sprzedaży latarek $L25$ (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek $L25$ będzie największy dla $x$ równego

A. $3$ B. $4$ C. $7$ D. $14$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 31 MAJ CKE 2025 (0-4) MAJ CKE 2025 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Rozważmy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH,$ w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ (zobacz rysunek)

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB.$

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P.$ Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $P(x) = -2x^2 + 22x + 88,$ $D = (0; 11),$ $x = 5,5$

Rozwiązanie

Zadanie 30 Grudzień CKE 2024 (0-4) Grudzień CKE 2024 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Rozważmy wszystkie prostopadłościany $ABCDFGH,$ w których krawędź $AE$ jest $3$ razy dłuższa od długości $AB,$ a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa $48$ (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB.$

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P.$ Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $P(x) = -26x^2 + 96x,$ $D = (0, 3),$ $x = \frac{24}{13}$

Rozwiązanie

Zadanie 38 Informator maturalny CKE 2024/2025 (0-4) Informator 2024/2025 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości 10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działku wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się do długości płotu.

Oblicz wymiary $x$ i $y$ każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x = 100m$ i $y = 75m$

Rozwiązanie

Zadanie 30 Sierpień CKE 2024 (0-3) Sierpień CKE 2024 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ jest równa $12.$

Wyznacz $x$ oraz $y,$ dla których wartość wyrażenia $2x^2 + y^2$ jest najmniejsza.

Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x = 4 i y = 8$ oraz najmniejsza wartość wynosi $96.$

Rozwiązanie

Rozwiąż podobne zadania

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ jest równa $8.$

Wyznacz $x$ oraz $y,$ dla których wartość wyrażenia $3x^2 + 2y^2$ jest najmniejsza.

Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x = 3,2$ i $y = 4,8$ oraz najmniejsza wartość wynosi $76,8$

Różnica dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ jest równa $15.$

Wyznacz $x$ oraz $y,$ dla których wartość wyrażenia $4x^2 - 2y^2$ jest najmniejsza.

Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x = 15$ i $y = - 30$ oraz najmniejsza wartość wynosi $-900$

Różnica dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ jest równa $6.$

Wyznacz $x$ oraz $y,$ dla których wartość wyrażenia $x^2 - 2y^2$ jest największa.

Oblicz tę największą wartość. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x = 12$ i $y = 6$ oraz najmniejsza wartość wynosi $72$

Zadanie 32 Czerwiec CKE 2024 (0-2) Czerwiec CKE 2024 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Właściciel sklepu z zabawkami przedstawił lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód $P$ ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o $x$ zł, wyraża się wzorem

$P(x) = (70 - x)(20 + x)$

gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x \ge 0$ i $x \le 60.$

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E.

A. $25$ B. $30$ C. $45$ D. $50$ E. $60$

Pokaż odpowiedź

ODP. A i E

Rozwiązanie

Zadanie 31 Maj CKE 2024 (0-4) Maj CKE 2024 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ściankach wewnętrznych.

Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).

Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki.

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. x = 4,5m oraz y = 3m.

Rozwiązanie

Zadanie 30 Grudzień 2023 (0-4) Grudzień CKE 2023 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość $12$ dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa $18$ dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $b = 3dm$ i $P = 112,5dm^2.$

Rozwiązanie

Zadanie 33 Sierpień CKE 2023 (0-4) Sierpień CKE 2023 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po $196$ złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód $P$ (w złotych) ze sprzedaży $x$ krzeseł można opisać funkcją $P(x) = 196x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ krzeseł dziennie można opisać funkcją

$K(x) = 4x^2 + 4x + 240$

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $30$ krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Pokaż odpowiedź

Największy zysk przy sprzedaży 24 krzeseł i wyniesie 2 064 zł

Rozwiązanie

Zadanie 33 Czerwiec CKE 2023 (0-4) Czerwiec CKE 2023 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$ tego trapezu mają długości $|AB| = 400$ m oraz $|CD| = 100$ m. Wysokość trapezu jest równa $75$ m, a jego kąty $DAB$ i $ABC$ są ostre.

Z działki postawiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa wierzchołki tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe – $E$ oraz $F$ – na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka:

Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $ABCD$ jest sumą pól trapezów $ABFE$ oraz $EFCD:$

$P_{ABCD}=P_{ABFE} + P_{EFCD}$

Pokaż odpowiedź

$50$ m x $200$ m oraz $P = 10000$

Rozwiązanie

Zadanie 31.2 Maj CKE 2023 (0-2) Maj CKE 2023 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n-$ tego dnia opisuje funkcja

$L(n) = -n^2+22n + 279$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n \ge 1$ i $n \le 30.$

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę obsłużonych klientów tego dnia. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. 11 dnia i było to 400 klientów

Rozwiązanie

Zadanie 31.1 Maj CKE 2023 (0-1) Maj CKE 2023 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n-$ tego dnia opisuje funkcja

$L(n) = -n^2+22n + 279$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n \ge 1$ i $n \le 30.$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wpisz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F oraz P

Rozwiązanie

Zadanie 20 Grudzień CKE 2022 (0-4) Grudzień CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości $200$ m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Oblicz wymiary a i b kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

ODP. a = 50, b = 100

Rozwiązanie

Zadanie 23 Wrzesień CKE 2022 (0-4) Wrzesień CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że

przychód $P$ (w złotych) z tygodniowej sprzedaży $x$ wiatraków można opisać funkcją $P(x) = 251x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ wiatraków w ciągu jednego tygodnia można okreslić funkcją $K(x) = x^2 +21x +170.$

Tygodniowo w zakłądzie można wyprodukować co najwyżej $150$ wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków nalezy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów

Pokaż odpowiedź

Przy produkcji 115 wiatraków tygodniowo zysk firmy będzie równy 13 055 zł.

Rozwiązanie

Zadanie 29 Marzec CKE 2022 (0-4) Marzec CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Rozważmy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30^{\circ}.$

Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku.

Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

$P(x) = x\cdot(100-x)\cdot\frac{1}{2};$ $D=(0;100);$ $a=50, b=50;$ $P(50) = 1250$

Rozwiązanie

Zadanie 68 Zbiór zadań CKE 2022 (0-4) Zbiór zadań CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$ i $4.$ Wpisano w niego prostokąt w taki sposób, że dwa z jego boków zawiera się w przyprostokątnych trójkąta, a jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej (zobacz rysunek).

Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby jego pole było największe?

Oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$\frac{3}{2}$ x $2,$ $P = 3$

Rozwiązanie

Zadanie 67 (0-4) Zbiór zadań CKE 2022 Zbiór zadań CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dany jest prostokąt $PQRS$ o bokach długości $|PQ| = |SR| = 10$ oraz $|PS| = |QR| = 6.$ Na bokach $PQ, QR, RS, SP$ obrano odpowiednio punkty $A, B, C, D$ takie, że $|AQ| = |BR| = |CS| = |DP| = x$ oraz $x \ge 3$ (zobacz rysunek).

Wyznacz długość odcinka $x,$ dla którego pole czworokąta $ABCD$ jest najmniejsze.

Wyznacz to pole. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$x = 4,$ $P(4) = 28$

Rozwiązanie

Zadanie 66 (0-3) Zbiór Zadań CKE 2022 Zbiór zadań CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Firma handlowa ustaliła, że liczba sprzedanych przez nią egzemplarzy gry komputerowej w ciągu każdego tygodnia zależy od jej ceny. Liczbę sprzedanych egzemplarzy opisuje funkcja $f(x) = 2400 - 15x,$ gdzie $x$ oznacza cenę jednostkową gry.

Jaka powinna być cena jednostkowa, aby tygodniowy przychód $P$ ze sprzedaży gry był największy? Oblicz ten największy przychód.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Przyjmij, że przychód jest iloczynem liczby sprzedanych gier oraz ceny jednostkowej tej gry.

Pokaż odpowiedź

$P(80) = 96 000$

Rozwiązanie

Optymalizacja