Sierpień CKE 2023

Arkusz maturalny (poprawkowy) z matematyki Sierpień 2023 tutaj
lub w formie prezentacji tutaj.

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj lub w jednym filmie —> tutaj

Zadanie 1 (0-1) Zad. 1 Sierpień CKE 2023 Równania i nierówności

Dana jest nierówność 

  |x - 5| < 2  

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.  

Pokaż odpowiedź

ODP. D 

Rozwiązanie

    

Zadanie 2 (0-1) Zad. 2 Sierpień CKE 2023 Liczby rzeczywiste 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych 

Liczba  3 \sqrt{45} - \sqrt{20} jest równa 

A.    (7 \cdot 5)^\frac{1}{2}                                 B.    5^\frac{1}{2}                                              C.    7                                           D.    7 \cdot 5 ^\frac{1}{2}

Pokaż odpowiedź

ODP. D 

Rozwiązanie

Zadanie 3 (0-1) Zad. 3 Sierpień CKE 2023 Liczby rzeczywiste Logarytmy 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych 

Liczba   log_{25}1 - \frac{1}{2}log_{25}5 jest równa 

A.    (-\frac{1}{4})                                 B.    (-\frac{1}{2})                                              C.    \frac{1}{4}                                           D.    \frac{1}{2}

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Rozwiązanie

Zadanie 4 (0-2) Zad. 4 Sierpień CKE 2023 Wyrażenia algebraiczne Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 1   liczba 3n^3 + 18n^2 + 15n jest podzielna przez 6.    

Pokaż odpowiedź

DOWÓD   

Rozwiązanie

Zadanie 5 (0-1) Zad. 5 Sierpień CKE 2023 Liczby rzeczywiste 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych 

Wartość wyrażenia \frac{3^{-1}}{(-\frac{1}{9})^{-2}} \cdot 81   jest równa 

A.    \frac{1}{3}                                 B.    (-\frac{1}{3})                                              C.    3                                           D.    (-3)

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Rozwiązanie

Zadanie 6 (0-1) Zad. 6 Sierpień CKE 2023 Liczby rzeczywiste Wzory skróconego mnożenia

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych 

Wartość wyrażenia (2 - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{3} - 2)^2 jest równa 

A.    (-2\sqrt{3} )                                 B.    0                                              C.    6                                           D.    8\sqrt{3}

Pokaż odpowiedź

ODP. B 

Rozwiązanie

Zadanie 7 (0-1) Zad. 7 Sierpień CKE 2023  Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 wartość wyrażenia \frac{1}{2x} - x jest równa wartości wyrażenia 

A.    \frac{1}{x}                                 B.    \frac{1-x}{2x}                                              C.    \frac{1-2x^2}{2x}                                           D.    - \frac{1}{2x}

Pokaż odpowiedź

ODP. C 

Rozwiązanie

Zadanie 8 (0-1) Zad. 8 Sierpień CKE 2023 Równania i nierówności Równania wymierne

Równanie \frac{(x^2 - 3x)(x^2+1)}{x^2-25} = 0   w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie 

A.   jedno rozwiązanie.                             

B.    dwa rozwiązania                                        

C.   trzy rozwiązania.                                         

D.   cztery rozwiązania    

Pokaż odpowiedź

ODP. B 

Rozwiązanie

Zadanie 9 (0-3) Zad. 9 Sierpień CKE 2023 Równania i nierówności  Wielomiany

Rozwiąż równanie 

  3x^3 - 2x^2 - 3x + 2 = 0     

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

x = - 1, x = \frac{2}{3},   x = 1          

Zadanie 10 (0-1) Zad. 10 Sierpień CKE 2023 Układy równań 

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), punkt (-8, 6)     jest punktem przecięcia prostych o równaniach 

A.   2x + 3y = 2  i -x + y = -14.                           
 B.    3x + 2y = -12  i 2x + y = 10.                                         
C.   x + y = -2  i x - 2y = 4.                                        
D.  x - y = - 14  i - 2x + y = 22.    

Pokaż odpowiedź

ODP. D 

Rozwiązanie

Zadanie 11 (0-1) Zad. 11 Sierpień CKE 2023 Funkcje Funkcja liniowa 

Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt (-1, 4).      

Wzór funkcji f ma postać 

A.   f(x) = -\frac{1}{2}x + 1                                           B.    f(x) = - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}                                         

C.   f(x) = -2x + 2                                        D.  f(x) = - 3x +1    

Pokaż odpowiedź

ODP. C 

Rozwiązanie

Zadanie 12 (0-1) Zad. 12 Sierpień CKE 2023 Funkcje 

Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = \frac{x - k}{x^2 +1}, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1) = 2.

Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa

A.    (-3)                                 B.    3                                              C.    (-4)                                           D.    4

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Rozwiązanie

 

Zadanie 13 (0-1) Zad. 13 Sierpień CKE 2023 Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = (x-13)^2 - 256. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba (-3).

Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba 

A.    (-29)                                 B.    (-23)                                              C.    23                                           D.    29

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 14.1 (0-1) Zad. 14.1 Sierpień CKE 2023 Funkcje 

W kartezjańskim układzie współrzędnych   (x, y) narysowano wykres   y = f(x) (zobacz rysunek) 

Funkcja   f jest rosnąca w przedziale 

A.    [-5, 4]                                 B.    [5, 7]                                              C.    [1, 5]                                           D.    [-1, 5]

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 14.2 (0-1) Zad. 14.2 Sierpień CKE 2023 Funkcje 

W kartezjańskim układzie współrzędnych   (x, y) narysowano wykres   y = f(x) (zobacz rysunek) 

Zapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od 1.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Pokaż odpowiedź

[-7, -5] \cup [-4, 2) \cup (5, 7]

Rozwiązanie

Zadanie 14.3 (0-1)  Zad. 14.3 Sierpień CKE 2023 Funkcje 

W kartezjańskim układzie współrzędnych   (x, y) narysowano wykres   y = f(x) (zobacz rysunek) 

Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f   następująco g(x) = f(-x) dla każdego x \in [-7, -5] \cup [-4, 4] \cup [5, 7]. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), wykres funkcji y = g(x).    

Wykres funkcji y = g(x) przedstawiono na rysunku 

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 15 (0-2) Zad. 15 Sierpień CKE 2023 Funkcje Funkcja kwadratowa 

Funkcje A, B, C, D, E oraz F są określone dla każdej liczby rzeczywistej x. Wzory tych funkcji podano poniżej. 

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wypisz te litery w wykropkowanych miejscach. 

Przedział (- \infty, 2] jest zbiorem wartości funkcji ……… oraz ………..

A.   A(x) = -(x - 3)^2 + 2                           
 B.    B(x) = x^2 + 2                                      
C.   C(x) = -5(x - 2)^2                                        
D.  D(x) = (x - 2)^2  

E.   E(x) = 2x^2 -8x + 10                                        

F.  F(x) = -2x^2 + 4x   

Pokaż odpowiedź

ODP. A oraz F 

Rozwiązanie

Zadanie 16 (0-1) Zad. 16 Sierpień CKE 2023 Ciągi 

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (-1)^n \cdot \frac{n+1}{2} dla każdej liczby naturalnej n \ge 1.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy 

A.    2                                 B.    (-2)                                              C.    3                                           D.    (-1)

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 17 (0-1) Zad. 17 Sierpień CKE 2023 Ciągi  Ciąg geometryczny 

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ge 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy (-\frac{1}{2}).        

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P   

Rozwiązanie

Zadanie 18 (0-2) Zad. 18 Sierpień CKE 2023 Ciągi  Ciąg arytmetyczny 

Ciąg (3x^2 + 5x, x^2, 20 - x^2) jest arytmetyczny. 

Oblicz x    . Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

x = - 4       

Rozwiązanie

Zadanie 19 (0-1) Zad. 19 Sierpień CKE 2023 Trygonometria

Kąt \alpha jest ostry i cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{7}.       

Sinus kąta \alpha jest równy 

A.    \frac{24}{49}                                 B.    \frac{5}{7}                                              C.    \frac{25}{49}                                           D.    \frac{\sqrt{6}}{7}

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 20 (0-1) Zad. 20 Sierpień CKE 2023 Planimetria 

Trapez   T_1, o polu równym   52 i obwodzie   36, jest podobny do trapezu   T_2. Pole trapezu   T_2 jest równe   13.     

Obwód trapezu   T_2 jest równy

A.    18                                 B.    9                                              C.    \frac{169}{9}                                           D.    \frac{52}{3}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 21 (0-1) Zad. 21 Sierpień CKE 2023 Planimetria 

Koło ma promień równy 3.    

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30^{\circ}    jest równy 

A.    \frac{3}{4} \pi                                 B.    \frac{1}{2} \pi                                              C.    \frac{3}{4}\pi + 6                                           D.    \frac{1}{2}\pi + 6

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 22 (0-1) Zad. 22 Sierpień CKE 2023 Planimetria 

W okręgu O kąt środkowy \beta oraz kąt wpisany \alpha   są oparte na tym samym łuku. Kąt \beta ma miarę o 40^{\circ} większą od kąta \alpha.          

Miara kąta \beta jest równa 

A.    40^{\circ}                                 B.    80^{\circ}                                              C.    100^{\circ}                                           D.    120^{\circ}

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 23 (0-1) Zad. 23 Sierpień CKE 2023 Planimetria 

W trójkącie ABC długość boku AC jest równa 3, a długość boku BC jest równa 4.    

Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D.

Stosunek |AD| : |DB| jest równy   

A.    4 : 3                                 B.    4 : 7                                              C.    3 : 4                                           D.    3 : 7

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 24 (0-2) Zad. 24 Sierpień CKE 2023 Planimetria 

Dany jest trapez równoramienny ABCD, w którym podstawa CD ma długość 6, ramię AD ma długość 4, a kąty BAD oraz ABC mają miarę 60^{\circ} (zobacz rysunek) 

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

P = 16\sqrt{3}       

Rozwiązanie

Zadanie 25 (0-1) Zad. 25 Sierpień CKE 2023 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są prosta k o równaniu y = \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}   oraz punkt P = (12, - 1).  

Prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej k ma równanie 

A.    y = - \frac{3}{4}x + 8                                                          B.    y = \frac{3}{4}x - 10                                             

C.    y = \frac{4}{3} - 17                                                            D.    y = - \frac{4}{3}x + 15

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 26 (0-1) Zad. 26 Sierpień CKE 2023 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o środku S = (- 1, 2) i promieniu 3.

Okrąg O jest określony równaniem 

A.    (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9                                                          B.    (x-1)^2 + (y+2)^2 = 3                                             

C.    (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9                                                            D.    (x+1)^2 + (y-2)^2 = 3

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

 

Zadanie 27 (0-1) Zad. 27 Sierpień CKE 2023 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste o równaniach 

  • y = \sqrt{3} x + 6    
  • y = - \sqrt{3} x + 6  
  • y = - \frac{1}{\sqrt{3}} x - 2  

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta KLM.   

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt KLM jest 

Pokaż odpowiedź

ODP. B – 2   

Rozwiązanie

 

Zadanie 28 (0-1) Zad. 28 Sierpień CKE 2023 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt A = (-1, -4) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt S = (2, 2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa 

A.    \sqrt{5}                                 B.    2\sqrt{5}                                              C.    3\sqrt{5}                                           D.    6\sqrt{5}

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

  

Zadanie 29.1 (0-1) Zad. 29.1 Sierpień CKE 2023 Stereometria Graniastosłupy

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.  

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równa 

A.    216 + 18\sqrt{3}                    B.    216 + 54\sqrt{3}                                 C.    216 + 216\sqrt{3}                          D.    216 + 108\sqrt{3}

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 29.2 (0-1) Zad. 29.2 Sierpień CKE 2023 Stereometria Graniastosłupy

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.  

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}  

Rozwiązanie

Zadanie 30 (0-1) Zad. 30 Sierpień CKE 2023 Kombinatoryka 

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest 

A.    9\cdot 10\cdot 10 \cdot 10\cdot 10                        B.    9\cdot 9\cdot 9\cdot 9                           C.    10\cdot 9 \cdot 8\cdot 7                      D.    9\cdot 9\cdot 8\cdot 7

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 31 (0-2) Zad. 31 Sierpień CKE 2023 Prawdopodobieństwo

Ze zbioru pięciu liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. 

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.  

Pokaż odpowiedź

P(A) = \frac{3}{10}       

Rozwiązanie

Zadanie 32 (0-1) Zad. 32 Sierpień CKE 2023 Statystyka 

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku 

 

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa 

A.    5690 zł                                B.    5280 zł                                             C.    6257 zł                                          D.    5900 zł

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

 

Zadanie 33 (0-4) Zad. 33 Sierpień CKE 2023 Optymalizacja i rachunek różniczkowy 

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

  • przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x) = 196x      
  • koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją 

K(x) = 4x^2 + 4x + 240     

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł. 

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. 

Zapisz obliczenia. 

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.  

Pokaż odpowiedź

Największy zysk przy sprzedaży 24 krzeseł i wyniesie 2 064 zł   

Rozwiązanie