Arkusz maturalny (poprawkowy) z matematyki Sierpień 2023

Arkusz maturalny (poprawkowy) z matematyki Sierpień 2023 tutaj
lub w formie prezentacji tutaj.

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Zadanie 1 (0-1) Zad. 1 Sierpień CKE 2023 Równania i nierówności

Dana jest nierówność

$|x - 5| < 2$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 2 (0-1) Zad. 2 Sierpień CKE 2023 Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych

Liczba $3 \sqrt{45} - \sqrt{20}$ jest równa

A. $(7 \cdot 5)^\frac{1}{2}$ B. $5^\frac{1}{2}$ C. $7$ D. $7 \cdot 5 ^\frac{1}{2}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 3 (0-1) Zad. 3 Sierpień CKE 2023 Liczby rzeczywiste Logarytmy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych

Liczba $log_{25}1 - \frac{1}{2}log_{25}5$ jest równa

A. $(-\frac{1}{4})$ B. $(-\frac{1}{2})$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{1}{2}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 4 (0-2) Zad. 4 Sierpień CKE 2023 Wyrażenia algebraiczne Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $3n^3 + 18n^2 + 15n$ jest podzielna przez $6.$

Pokaż odpowiedź

DOWÓD

Rozwiązanie

Zadanie 5 (0-1) Zad. 5 Sierpień CKE 2023 Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych

Wartość wyrażenia $\frac{3^{-1}}{(-\frac{1}{9})^{-2}} \cdot 81$ jest równa

A. $\frac{1}{3}$ B. $(-\frac{1}{3})$ C. $3$ D. $(-3)$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 6 (0-1) Zad. 6 Sierpień CKE 2023 Liczby rzeczywiste Wzory skróconego mnożenia

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych

Wartość wyrażenia $(2 - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{3} - 2)^2$ jest równa

A. $(-2\sqrt{3} )$ B. $0$ C. $6$ D. $8\sqrt{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 7 (0-1) Zad. 7 Sierpień CKE 2023 Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $0$ wartość wyrażenia $\frac{1}{2x} - x$ jest równa wartości wyrażenia

A. $\frac{1}{x}$ B. $\frac{1-x}{2x}$ C. $\frac{1-2x^2}{2x}$ D. $- \frac{1}{2x}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 8 (0-1) Zad. 8 Sierpień CKE 2023 Równania i nierówności Równania wymierne

Równanie $\frac{(x^2 - 3x)(x^2+1)}{x^2-25} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.

B. dwa rozwiązania

C. trzy rozwiązania.

D. cztery rozwiązania

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 9 (0-3) Zad. 9 Sierpień CKE 2023 Równania i nierówności Wielomiany

Rozwiąż równanie

$3x^3 - 2x^2 - 3x + 2 = 0$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$x = - 1,$ $x = \frac{2}{3},$ $x = 1$

Zadanie 10 (0-1) Zad. 10 Sierpień CKE 2023 Układy równań

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ punkt $(-8, 6)$ jest punktem przecięcia prostych o równaniach

A.   $2x + 3y = 2$ i $-x + y = -14.$
B. $3x + 2y = -12$ i $2x + y = 10.$
C.   $x + y = -2$ i $x - 2y = 4.$
D. $x - y = - 14$ i $- 2x + y = 22.$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 11 (0-1) Zad. 11 Sierpień CKE 2023 Funkcje Funkcja liniowa

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $1.$ Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt $(-1, 4).$

Wzór funkcji $f$ ma postać

A. $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$ B. $f(x) = - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

C. $f(x) = -2x + 2$ D. $f(x) = - 3x +1$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 12 (0-1) Zad. 12 Sierpień CKE 2023 Funkcje

Funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x) = \frac{x - k}{x^2 +1},$ gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek $f(1) = 2.$

Wartość współczynnika $k$ we wzorze tej funkcji jest równa

A. $(-3)$ B. $3$ C. $(-4)$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 13 (0-1) Zad. 13 Sierpień CKE 2023 Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (x-13)^2 - 256.$ Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $(-3).$

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

A. $(-29)$ B. $(-23)$ C. $23$ D. $29$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 14.1 (0-1) Zad. 14.1 Sierpień CKE 2023 Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres $y = f(x)$ (zobacz rysunek)

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale

A. $[-5, 4]$ B. $[5, 7]$ C. $[1, 5]$ D. $[-1, 5]$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 14.2 (0-1) Zad. 14.2 Sierpień CKE 2023 Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres $y = f(x)$ (zobacz rysunek)

Zapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1.$

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Pokaż odpowiedź

$[-7, -5] \cup [-4, 2) \cup (5, 7]$

Rozwiązanie

Zadanie 14.3 (0-1) Zad. 14.3 Sierpień CKE 2023 Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres $y = f(x)$ (zobacz rysunek)

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco $g(x) = f(-x)$ dla każdego $x \in [-7, -5] \cup [-4, 4] \cup [5, 7].$ Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ wykres funkcji $y = g(x).$

Wykres funkcji $y = g(x)$ przedstawiono na rysunku

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 15 (0-2) Zad. 15 Sierpień CKE 2023 Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcje $A, B, C, D, E$ oraz $F$ są określone dla każdej liczby rzeczywistej $x.$ Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wypisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział $(- \infty, 2]$ jest zbiorem wartości funkcji ……… oraz ………..

A. $A(x) = -(x - 3)^2 + 2$
B. $B(x) = x^2 + 2$
C. $C(x) = -5(x - 2)^2$
D. $D(x) = (x - 2)^2$

E. $E(x) = 2x^2 -8x + 10$

F. $F(x) = -2x^2 + 4x$

Pokaż odpowiedź

ODP. A oraz F

Rozwiązanie

Zadanie 16 (0-1) Zad. 16 Sierpień CKE 2023 Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = (-1)^n \cdot \frac{n+1}{2}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

A. $2$ B. $(-2)$ C. $3$ D. $(-1)$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 17 (0-1) Zad. 17 Sierpień CKE 2023 Ciągi Ciąg geometryczny

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n),$ określony dla każdej liczby naturalnej $n ge 1.$ Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $128,$ natomiast iloraz ciągu jest równy $(-\frac{1}{2}).$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Rozwiązanie

Zadanie 18 (0-2) Zad. 18 Sierpień CKE 2023 Ciągi Ciąg arytmetyczny

Ciąg $(3x^2 + 5x, x^2, 20 - x^2)$ jest arytmetyczny.

Oblicz $x$ . Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$x = - 4$

Rozwiązanie

Zadanie 19 (0-1) Zad. 19 Sierpień CKE 2023 Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i $cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{7}.$

Sinus kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{24}{49}$ B. $\frac{5}{7}$ C. $\frac{25}{49}$ D. $\frac{\sqrt{6}}{7}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 20 (0-1) Zad. 20 Sierpień CKE 2023 Planimetria

Trapez $T_1,$ o polu równym $52$ i obwodzie $36,$ jest podobny do trapezu $T_2.$ Pole trapezu $T_2$ jest równe $13.$

Obwód trapezu $T_2$ jest równy

A. $18$ B. $9$ C. $\frac{169}{9}$ D. $\frac{52}{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 21 (0-1) Zad. 21 Sierpień CKE 2023 Planimetria

Koło ma promień równy $3.$

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym $30^{\circ}$ jest równy

A. $\frac{3}{4} \pi$ B. $\frac{1}{2} \pi$ C. $\frac{3}{4}\pi + 6$ D. $\frac{1}{2}\pi + 6$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 22 (0-1) Zad. 22 Sierpień CKE 2023 Planimetria

W okręgu $O$ kąt środkowy $\beta$ oraz kąt wpisany $\alpha$ są oparte na tym samym łuku. Kąt $\beta$ ma miarę o $40^{\circ}$ większą od kąta $\alpha.$

Miara kąta $\beta$ jest równa

A. $40^{\circ}$ B. $80^{\circ}$ C. $100^{\circ}$ D. $120^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 23 (0-1) Zad. 23 Sierpień CKE 2023 Planimetria

W trójkącie $ABC$ długość boku $AC$ jest równa $3,$ a długość boku $BC$ jest równa $4.$

Dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D.$

Stosunek $|AD| : |DB|$ jest równy

A. $4 : 3$ B. $4 : 7$ C. $3 : 4$ D. $3 : 7$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 24 (0-2) Zad. 24 Sierpień CKE 2023 Planimetria

Dany jest trapez równoramienny $ABCD,$ w którym podstawa $CD$ ma długość $6,$ ramię $AD$ ma długość $4,$ a kąty $BAD$ oraz $ABC$ mają miarę $60^{\circ}$ (zobacz rysunek)

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$P = 16\sqrt{3}$

Rozwiązanie

Zadanie 25 (0-1) Zad. 25 Sierpień CKE 2023 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są prosta $k$ o równaniu $y = \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}$ oraz punkt $P = (12, - 1).$

Prosta przechodząca przez punkt $P$ i równoległa do prostej $k$ ma równanie

A. $y = - \frac{3}{4}x + 8$ B. $y = \frac{3}{4}x - 10$

C. $y = \frac{4}{3} - 17$ D. $y = - \frac{4}{3}x + 15$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 26 (0-1) Zad. 26 Sierpień CKE 2023 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $O$ o środku $S = (- 1, 2)$ i promieniu $3.$

Okrąg $O$ jest określony równaniem

A. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$ B. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 3$

C. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$ D. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 3$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 27 (0-1) Zad. 27 Sierpień CKE 2023 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste o równaniach

$y = \sqrt{3} x + 6$
$y = - \sqrt{3} x + 6$
$y = - \frac{1}{\sqrt{3}} x - 2$

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta $KLM.$

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt $KLM$ jest

Pokaż odpowiedź

ODP. B – 2

Rozwiązanie

Zadanie 28 (0-1) Zad. 28 Sierpień CKE 2023 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $A = (-1, -4)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD.$ Punkt $S = (2, 2)$ jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Długość przekątnej $AC$ równoległoboku $ABCD$ jest równa

A. $\sqrt{5}$ B. $2\sqrt{5}$ C. $3\sqrt{5}$ D. $6\sqrt{5}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 29.1 (0-1) Zad. 29.1 Sierpień CKE 2023 Stereometria Graniastosłupy

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą $6.$

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równa

A. $216 + 18\sqrt{3}$ B. $216 + 54\sqrt{3}$ C. $216 + 216\sqrt{3}$ D. $216 + 108\sqrt{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 29.2 (0-1) Zad. 29.2 Sierpień CKE 2023 Stereometria Graniastosłupy

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą $6.$

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Rozwiązanie

Zadanie 30 (0-1) Zad. 30 Sierpień CKE 2023 Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

A. $9\cdot 10\cdot 10 \cdot 10\cdot 10$ B. $9\cdot 9\cdot 9\cdot 9$ C. $10\cdot 9 \cdot 8\cdot 7$ D. $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 31 (0-2) Zad. 31 Sierpień CKE 2023 Prawdopodobieństwo

Ze zbioru pięciu liczb ${1, 2, 3, 4, 5}$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

$P(A) = \frac{3}{10}$

Rozwiązanie

Zadanie 32 (0-1) Zad. 32 Sierpień CKE 2023 Statystyka

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

A. $5690$ zł B. $5280$ zł C. $6257$ zł D. $5900$ zł

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 33 (0-4) Zad. 33 Sierpień CKE 2023 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po $196$ złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód $P$ (w złotych) ze sprzedaży $x$ krzeseł można opisać funkcją $P(x) = 196x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ krzeseł dziennie można opisać funkcją

$K(x) = 4x^2 + 4x + 240$

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $30$ krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Pokaż odpowiedź

Największy zysk przy sprzedaży 24 krzeseł i wyniesie 2 064 zł

Rozwiązanie

Sierpień CKE 2023