Sierpień CKE 2024

Arkusz maturalny (poprawkowy) z matematyki Sierpień 2024 tutaj
lub w formie prezentacji tutaj.

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj

Zadanie 1 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 1 Sierpień CKE 2024  Równania i nierówności Wartość bezwzględna

Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności |x + 1| < 3 jest równa

A.    2                                 B.    3                                              C.    5                                           D.    7

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 2 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 2 Sierpień CKE 2024  Liczby rzeczywiste

Liczba (\frac{4}{25})^{-0,5} jest równa

A.    0,04                                 B.    0,8                                              C.    2,5                                           D.    0,4

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 3 Sierpień CKE 2024 (0-2)   Zad. 3 Sierpień CKE 2024  Wyrażenia algebraiczne Dowód algebraiczny

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej   n \ge 1 liczba   (2n + 5)^2 + 3 jest podzielna przez   4.  

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD 

Rozwiązanie

Zadanie 4 Sierpień CKE 2024 (0-2)   Zad. 4 Sierpień CKE 2024  Liczby rzeczywiste  Logarytmy

Uzupełnij zdanie. Wpisz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są równości: ……… oraz …………. .

A.    log_2 16 + log_2 9 = log_2 25                                 

B.    log_2 16 + log_2 9 = 2 \cdot log_2 5

C.    log_2 16 + log_2 9 = log_2 144

D.    log_2 16 + log_2 9 = log_4 144

E.    log_2 16 + log_2 9 = 4 + 2 \cdot log_2 3

F.    log_2 16 + log_2 9 = 2 \cdot log_4 12

Pokaż odpowiedź

ODP. C i E   

Rozwiązanie

Zadanie 5 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 5 Sierpień CKE 2024  Równania i nierówności  Nierówności liniowe

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{3(6 - x)}{17} \le 3

jest przedział

A.    (-\infty, -11)                  B.    (-\infty, -11]                          C.    (-11, + \infty)                           D.    [-11, + \infty)

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 6 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 6 Sierpień CKE 2024  Równania i nierówności  Równania wymierne

Równanie \frac{x(x+5)(2-x)}{2x+4} = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

A.   dwa rozwiązania: (-5) oraz 2.                                

B.    dwa rozwiązania: (-5) oraz 0.

C.   trzy rozwiązania: (-5), 0 oraz 2.

D.   cztery rozwiązania: (-5), (-2), 0 oraz 2

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 7 Sierpień CKE 2024 (0-3)   Zad. 7 Sierpień CKE 2024  Równania i nierówności  Wielomiany

Rozwiąż równanie 

x^3 + 5x^2 - 2x - 10 = 0

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. x = -5, x = -\sqrt{2} oraz x = \sqrt{2}  

Rozwiązanie

Zadanie 8 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 8 Sierpień CKE 2024  Układy równań

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

A.   \left\{{\begin{array} 1y = x + 2\\ y = 2x - 3 \end{array}\right                               

B.  \left\{{\begin{array} 1y = -x + 2 \\ y = 2x - 3 \end{array}\right

C.  \left\{{\begin{array} 1y = x + 2\\ y = -2x - 3 \end{array}\right

D.  \left\{{\begin{array} 1y = -x + 2\\ y = 2x + 3 \end{array}\right

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 9 Sierpień CKE 2024 (0-2)   Zad. 9 Sierpień CKE 2024  Funkcje

Funkcja y = f(x) jest określona za pomocą tabeli

Uzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E. 

A.    1                                         B.    2                                        C.    4                                      D.    5                                     E.    6

Pokaż odpowiedź

ODP. D, C    

Rozwiązanie

Zadanie 10 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 10 Sierpień CKE 2024  Funkcje  Funkcja liniowa

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = \frac{\sqrt{3}}{3} x - 3.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji y = f(x) jest prostą nachyloną do osi Ox pod kątem ostrym \alpha .

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Sinus kąta \alpha   jest równy ………. .

Pokaż odpowiedź

ODP. \frac{1}{2}    

Rozwiązanie

Zadanie 11.1 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 11.1 Sierpień CKE 2024  Funkcje  Funkcja liniowa

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P    

Rozwiązanie

Zadanie 11.2 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 11.2 Sierpień CKE 2024  Funkcje  Funkcja liniowa

Największa wartość funkcji f jest równa

A.    16,8                                 B.    15,8                                              C.    11,3                                           D.    10,3

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 11.3 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 11.3 Sierpień CKE 2024  Funkcje  Funkcja liniowa

Funkcja f jest określona wzorem

A.    f(x) = 6,5 x + 1,03                                 

B.    f(x) = 1,03x + 10

C.    f(x) = 10x + 1,03

D.    f(x) = 1,03x + 6,5

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 12.1 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 12.1 Sierpień CKE 2024  Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

A.    (-\infty, -2]                                 B.    [1, +\infty)                                              C.    [-1, 3]                                           D.    [-2, + \infty)

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 12.2 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 12.2 Sierpień CKE 2024  Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu

A.    x = 1                                 B.    y = 1                                              C.    x = -2                                           D.    y = -2

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 12.3 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 12.3 Sierpień CKE 2024  Funkcje  Funkcja kwadratowa

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja f jest określona wzorem

A.    f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 2                                 

B.    f(x) = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + 2

C.    f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 2

D.    f(x) = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 13 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 13 Sierpień CKE 2024  Ciągi

Ciąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n \ge 1.

Suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem S_n = n^2 + 2n dla każdej liczby naturalnej n \ge 1.

Trzeci wyraz ciągu (a_n) jest równy

A.    5                                 B.    7                                              C.    13                                           D.    15

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 14 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 14 Sierpień CKE 2024  Ciągi  Ciąg geometryczny

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n \ge 1, w którym a_2 = 2 oraz a_5 = 54.

Iloraz ciągu (a_n) jest równy

A.    3                                 B.    9                                              C.    \frac{52}{3}                                           D.    27

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 15 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 15 Sierpień CKE 2024  Ciągi  Ciąg arytmetyczny

Trzywyrazowy ciąg (2m - 5, 4, 9) jest arytmetyczny

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

Pokaż odpowiedź

ODP. A-2   

Rozwiązanie

Zadanie 16 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 16 Sierpień CKE 2024  Trygonometria

Kąt \alpha jest ostry oraz cos \alpha = \frac{24}{25} .

Tangens kąta \alpha jest równy

A.    \frac{7}{18}                                 B.    \frac{7}{24}                                              C.    \frac{7}{25}                                           D.    \frac{18}{25}

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 17 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 17 Sierpień CKE 2024  Trygonometria

W trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta CAB jest równy \frac{3}{5}, a przeciwprostokątna AB jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej BC.

Długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest równa

A.    18                                 B.    20                                              C.    24                                           D.    25

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 18 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 18 Sierpień CKE 2024  Trygonometria

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 5, |AC| = 2 oraz cos|\angle BAC| = \frac{3}{5}.

Długość boku BC tego trójkąta jest równa

A.    \sqrt{17}                                 B.    \sqrt{23}                                              C.    \sqrt{35}                                           D.    \sqrt{41}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 19 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 19 Sierpień CKE 2024  Planimetria

Punkty K, L oraz M leżą na okręgu o środku w punkcie S. Miara kąta KSM jest równa 160^{\circ} (zobacz rysunek).

Miara kąta wpisanego KLM jest równa

A.    80^{\circ}                                 B.    90^{\circ}                                              C.    100^{\circ}                                           D.    110^{\circ}

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 20 Sierpień CKE 2024 (0-2)   Zad. 20 Sierpień CKE 2024  Planimetria

Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości |AB| = 12 oraz |CD| = 6. Wysokość AD tego trapezu ma długość AD tego trapezu ma długość  24. Na odcinku AD leży punkt E taki, że |\angle BEA | = |\angle CED| (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka BE. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. |BE| = 20.    

Rozwiązanie

Zadanie 21 Sierpień CKE 2024 (0-4)   Zad. 21 Sierpień CKE 2024  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S= (9, 11). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y = \frac{1}{2} x - 1, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y = 2x - 4.

Oblicz współrzędne wierzchołka B. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. B = (6, 2)    

Rozwiązanie

Zadanie 22 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 22 Sierpień CKE 2024  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami

k:   y = (3m - 2)x - 2

l:   y = (2m + 4)x + 2

Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa

A.    (-6)                                 B.    (-2)                                              C.    2                                           D.    6

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

Zadanie 23 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 23 Sierpień CKE 2024  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) odcinek o końcach A = (-4, 7) oraz B = (6, -1) jest średnicą okręgu O.

Okrąg O jest określony wzorem

A.    (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 41                                 

B.    (x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 41

C.    (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 41

D.    (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 41

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 24 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 24 Sierpień CKE 2024  Stereometria Ostrosłupy

Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa   12.

Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa

A.    10                                 B.    11                                              C.    12                                           D.    13

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 25 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 25 Sierpień CKE 2024  Stereometria Graniastosłupy

Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość 10.

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

A.    376                                 B.    466                                              C.    480                                           D.    720

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Rozwiązanie

Zadanie 26 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 26 Sierpień CKE 2024  Stereometria Graniastosłupy

Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH, w którym podstawy ABCD i EFGH są kwadratami o boku długości 6. Przekątna BH tego prostopadłościanu tworzy z przekątną AH ściany bocznej ADHE kąt o mierze 30^{\circ} (zobacz rysunek).

Przekątna BH tego prostopadłościanu ma długość równą

A.    4\sqrt{3}                                 B.    6\sqrt{3}                                              C.    12                                           D.    12\sqrt{2}

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 27 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 27 Sierpień CKE 2024  Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o  3   większa od cyfry jedności, jest

A.    3                                 B.    6                                              C.    7                                           D.    13

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Rozwiązanie

Zadanie 28 Sierpień CKE 2024 (0-1)   Zad. 28 Sierpień CKE 2024  Statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa

A.    2,5                                 B.    3,25                                              C.    3,31                                           D.    4

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Rozwiązanie

Zadanie 29 Sierpień CKE 2024 (0-2)   Zad. 29 Sierpień CKE 2024  Prawdopodobieństwo

Dane są dwa zbiory: C = {{0, 4, 5, 7, 9} oraz D = {{1, 2, 3}.

Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P(A) = \frac{4}{15}    

Rozwiązanie

Zadanie 30 Sierpień CKE 2024 (0-3)   Zad. 30 Sierpień CKE 2024  Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12.

Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia 2x^2 + y^2 jest najmniejsza. 

Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. x = 4 i y = 8 oraz najmniejsza wartość wynosi 96.  

Rozwiązanie