Arkusz maturalny (poprawkowy) z matematyki Sierpień 2025

Arkusz maturalny (poprawkowy) z matematyki Sierpień 2025 tutaj
lub w formie prezentacji tutaj.

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Zadanie 1 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 1 Sierpień CKE 2025 Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna

Liczba $|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1|$ jest równa

A. $2\sqrt{5} - 4$ B. $2\sqrt{5} + 4$ C. $2$ D. $4$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 2 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 2 Sierpień CKE 2025 Liczby rzeczywiste

Liczba $\frac{25^{-2}}{125^{-4}}$ jest równa

A. $5^{-16}$ B. $5^{-2}$ C. $5^4$ D. $5^8$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 3 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 3 Sierpień CKE 2025 Liczby rzeczywiste

Liczba $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}$ jest równa

A. $6$ B. $3\sqrt[3]{6}$ C. $6\sqrt[3]{3}$ D. $6\sqrt[3]{6}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 4 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 4 Sierpień CKE 2025 Logarytmy

Liczba $log_3 2 - log_3 18$ jest równa

A. $(-2)$ B. $(-\frac{1}{2})$ C. $\frac{1}{2}$ D. $2$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 5 Sierpień CKE 2025 (0-2) Zad. 5 Sierpień CKE 2025 Liczby rzeczywiste Dowód algebraiczny

Wykaż, że liczba $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielna przez $31.$

Pokaż odpowiedź

ODP. DOWÓD

Rozwiązanie

Zadanie 6 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 6 Sierpień CKE 2025 Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ wartość wyrażenia $(3x + y)^2 - (3x - y)^2$ jest równa wartości wyrażenia

A. $12xy$ B. $(-12xy)$ C. $2y^2$ D. $4y^2$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 7 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 7 Sierpień CKE 2025 Równania i nierówności Nierówności liniowe

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

$3 - x \ge \frac{5x - 1}{2}$

jest przedział

A. $(-\infty, 1]$ B. $(-\infty, \frac{7}{6}]$ C. $[1, +\infty)$ D. $[\frac{7}{6}, +\infty)$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 8 Sierpień CKE 2025 (0-3) Zad. 8 Sierpień CKE 2025 Równania i nierówności Równania wymierne

Dane jest równanie

$\frac{3}{3x - 7} = \frac{5x}{x - 8},$ gdzie $x \ne \frac{7}{3}$ i $x \ne 8.$

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $(\frac{5}{4}, +\infty).$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x = \frac{4}{3}$

Rozwiązanie

Zadanie 9 Sierpień CKE 2025 (0-2) Zad. 9 Sierpień CKE 2025 Równania i nierówności Nierówności kwadratowe

Rozwiąż nierówność

$-3x^2 > 6x - 9$

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $x\in (-3, 1)$

Rozwiązanie

Zadanie 10 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 10 Sierpień CKE 2025 Równania i nierówności Równania wielomianowe

Suma wszystkich rozwiązań równania $(3x - 12)(10 + 5x)(x - 3) = 0$ jest równa

A. $(-5)$ B. $(-1)$ C. $5$ D. $9$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 11 Sierpień CKE 2025 (0-2) Zad. 11 Sierpień CKE 2025 Układy równań

Właściciel restauracji kupił $75$ kilogramów: $x$ kg pomidorów malinowych w cenie $11$ złotych za kilogram oraz $y$ kg pomidorów cherry w cenie $7,98$ złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie $752, 52$ złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. 51 kg.

Rozwiązanie

Zadanie 12.1 Sierpień CKE 2025 (0-2) Zad. 12.1 Sierpień CKE 2025 Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \left\{{\begin{array} - 2x - 10 ~~ dla ~~~~ x \in (-5, -3] \\ x - 1 ~~ dla ~~~~ x \in (-3 , 4] \end{array}\right$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zadania były prawdziwe.

1. Miejsce zerowe funkcji $f$ jest liczba ……………. .
2. Wartość wyrażenia $f(-2) + 3 \cdot f(2)$ jest równa ……. .

Pokaż odpowiedź

ODP. Ad 1. 1, Ad 2. 0

Rozwiązanie

Zadanie 12.2 Sierpień CKE 2025 (0-2) Zad. 12.2 Sierpień CKE 2025 Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \left\{{\begin{array} - 2x - 10 ~~ dla ~~~~ x \in (-5, -3] \\ x - 1 ~~ dla ~~~~ x \in (-3 , 4] \end{array}\right$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zadania były prawdziwe.

1. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ……………. .
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) < -2$ jest przedział ……. .

Pokaż odpowiedź

ODP. Ad 1. $[-4, 3]$ , Ad 2. $(-4, -1)$

Rozwiązanie

Zadanie 13 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 13 Sierpień CKE 2025 Funkcje Funkcja liniowa

Miejscem zerowym funkcji liniowej $g$ jest liczba $(-3).$
Dla argumentu $0$ funkcja $g$ przyjmuje wartość $(-\frac{3}{2}).$

Funkcja $g$ jest określona wzorem

A.   $g(x) = - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$
B. $g(x) = - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
C.   $g(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$
D. $g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 14.1 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 14.1 Sierpień CKE 2025 Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c,$ gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6.$
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $x = 1$ jest osią symetrii wykresu $f.$

Funkcja $f$ jest określona wzorem

A.   $f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)(x - 6)$
B. $f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)(x + 6)$
C.   $f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6)$
D. $f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x + 6)$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 14.2 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 14.2 Sierpień CKE 2025 Funkcje Funkcja kwadratowa

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, F

Rozwiązanie

Zadanie 14.3 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 14.3 Sierpień CKE 2025 Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x-3).$

Osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu

A. $x = -2$ B. $x = 1$ C. $x = 3$ D. $x = 4$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 15 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 15 Sierpień CKE 2025 Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \frac{32 \cdot (-1)^n} {2^{n-1}}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $(-2)$ B. $(-1)$ C. $1$ D. $2$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 16 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 16 Sierpień CKE 2025 Ciągi Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$
Różnica tego ciągu jest równa $(-4)$ oraz $a_{10} = -24.$

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $(-12)$ B. $(-8)$ C. $(-4)$ D. $0$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 17 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 17 Sierpień CKE 2025 Ciągi Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny $(a_n),$ o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od $0,$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_3 = -8 \cdot a_6.$

Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $(-2)$ B. $(-\frac{1}{2})$ C. $\frac{1}{2}$ D. $2$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 18 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 18 Sierpień CKE 2025 Ciągi Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny

Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5}, 1, x)$ jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5}, 1, y)$ jest geometryczny.

Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

A. $x < 0$ i $y < 0$
B. $x < 0$ i $y > 0$
C. $x > 0$ i $y < 0$
D. $x > 0$ i $y > 0$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 19 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 19 Sierpień CKE 2025 Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $cos \alpha = \frac{5}{13}.$

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{5}{12}$ B. $\frac{12}{13}$ C. $\frac{13}{12}$ D. $\frac{12}{5}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 20 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 20 Sierpień CKE 2025 Trygonometria

Liczba $sin 30 ^{\circ} \cdot cos 60^{\circ} + sin 60^{\circ} \cdot cos30^{\circ}$ jest równa

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $1$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 21.1 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 21.1 Sierpień CKE 2025 Planimetria

Punkty $A,$ $B,$ $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$ i o promieniu $36.$
Punkt $S$ lezy na odcinku $BD.$ Kąt $BDA$ ma miarę $40^{\circ},$ a kąt $DBC$ ma miarę $65^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BSA$ jest równa

A. $20^{\circ}$ B. $40^{\circ}$ C. $50^{\circ}$ D. $80^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 21.2 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 21.2 Sierpień CKE 2025 Planimetria

Długość łuku $BC,$ na którym jest oparty kąt wpisany $CDB,$ jest równa

A. $8 \pi$ B. $10 \pi$ C. $13 \pi$ D. $20 \pi$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 22.1 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 22.1 Sierpień CKE 2025 Planimetria

Dany jest trójkąt $ABC,$ w którym $|AB| = 6,$ $|AC| = 4$ oraz $|\angle CAB| = 60^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

A. $6$ B. $6\sqrt{3}$ C. $12$ D. $12\sqrt{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Rozwiązanie

Zadanie 22.2 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 22.2 Sierpień CKE 2025 Planimetria

Dany jest trójkąt $ABC,$ w którym $|AB| = 6,$ $|AC| = 4$ oraz $|\angle CAB| = 60^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Długość boku $BC$ trójkąta $ABC$ jest równa

A. $\sqrt{28}$ B. $\sqrt{40}$ C. $8$ D. $\sqrt{76}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Rozwiązanie

Zadanie 23 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 23 Sierpień CKE 2025 Planimetria

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB| = 2 \cdot |CD|.$
Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F

Rozwiązanie

Zadanie 24 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 24 Sierpień CKE 2025 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k: y = (3 - m)x + 5$

$l: y = (m + 3)x - 4$

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa ………… .

Pokaż odpowiedź

ODP. 0

Rozwiązanie

Zadanie 25 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 25 Sierpień CKE 2025 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $O$ o równaniu

$O: (x - 1)^2 + (y + 3)^3 = 4$

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, P

Rozwiązanie

Zadanie 26 Sierpień CKE 2025 (0-4) Zad. 26 Sierpień CKE 2025 Stereometria Graniastosłupy

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF.$ Wysokość podstawy $ABC$ jest równa $2 \sqrt{3}.$ Przekątna $AE$ ściany bocznej $ABED$ tworzy z krawędzią $AB$ kąt o mierze $60^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $V = 48$ oraz $P_c = 56\sqrt{3}$

Rozwiązanie

Zadanie 27 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 27 Sierpień CKE 2025 Stereometria Bryły obrotowe

Objętość walca o promieniu podstawy $2$ jest równa $16\pi ^2.$

Wysokość tego walca jest równa

A. $2$ B. $4$ C. $2 \pi$ D. $4 \pi$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Rozwiązanie

Zadanie 28 Sierpień CKE 2025 (0-1) Zad. 28 Sierpień CKE 2025 Kombinatoryka

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $500,$ w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

A. $13$ B. $50$ C. $75$ D. $107$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Rozwiązanie

Zadanie 29 Sierpień CKE 2025 (0-2) Zad. 29 Sierpień CKE 2025 Prawdopodobieństwo

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym , że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez $3.$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $P(A) = \frac{1}{6}$

Rozwiązanie

Zadanie 30 Sierpień CKE 2025 (0-3) Zad. 30 Sierpień CKE 2025 Statystyka

W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.
Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.
Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas przeglądów jest równa ……….. .

2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ……….. .

3. Liczba samochodów, w któych wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ……….. procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.

Pokaż odpowiedź

ODP. Ad 1. $1$ , Ad 2. $2$ , Ad 3. $125 \%$

Rozwiązanie

Zadanie 31 Sierpień CKE 2025 (0-2) Zad. 31 Sierpień CKE 2025 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelowa na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że

przy wyjściowej cenie wynoszącej $120$ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5$ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1.$

Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5x$ złotych opisuje funkcja

P(x) = (80 - x)(120 + 5x)

gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x \ge 0$ i $x \le 80.$

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

ODP. $260$ zł

Sierpień CKE 2025