Wrzesień CKE 2022

Test diagnostyczny z matematyki Wrzesień CKE 2022 tutaj lub w formie prezentacji tutaj

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023)

Rozwiązania zadań dostępne w playliście -> tutaj lub w jednym filmie -> tutaj

Zadanie 1 (0-1) Zad. 1 Wrzesień CKE 2022 Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}$ jest równa

A. $\frac{25}{4}$ B. $\frac{4}{25}$ C. $\frac{36}{49}$ D. $\frac{40}{9}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 2 (0-1) Zad. 2 Wrzesień CKE 2022 Liczby rzeczywiste Logarytmy

Wartość wyrażenia $2log_5 5 + 1 - \frac{1}{2} log_5 625$ jest równa

A. $1$ B. $5$ C. $10$ D. $25$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 3 (0-1) Zad. 3 Wrzesień CKE 2022 Kombinatoryka

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez $25,$ jest

A. $9 \cdot 9 \cdot 2$ B. $9 \cdot 10 \cdot 2$ C. $9 \cdot 9 \cdot 4$ D. $9 \cdot 10 \cdot 4$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 4 (0-1) Zad. 4 Wrzesień CKE 2022 Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne

Dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 1$ wyrażenie $\frac{2}{x-1} - 5$ jest równe

A. $\frac{-5x+1}{x-1}$ B. $\frac{-5x+7}{x-1}$ C. $\frac{-5x+3}{x-1}$ D. $\frac{-5x-3}{x-1}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 5 (0-2) Zad. 5 Wrzesień CKE 2022 Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ wyrażenie $9-(x^2-2xy+y^2)$ jest równe

A. $[3 - (x-2y)]^2$

B. $[3 + (x - 2y)]^2$

C. $[3 - (x + 2y)]^2$

D. $[3 - (x - y)] \cdot [3 + (x - y)]$

E. $[3 - (x + 2y)] \cdot [3 + (x + 2y)]$

F. $-[(x - y) - 3] \cdot [(x - y) + 3]$

Pokaż odpowiedź

ODP. D i F

Zadanie 6 (0-3) Zad. 6 Wrzesień CKE 2022 Równania i nierówności Wielomiany

Rozwiąż równanie

$3x^3 - 6x^2 -27x +54 = 0$

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

$x = 3, x = -3, x = 2$

Zadanie 7 (0-1) Zad. 7 Wrzesień CKE 2022 Równania i nierówności Równania wymierne

Równanie

$\frac {(x^2 + x)(x + 3)(x - 1)}{x^2 -1} = 0$

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

A. jedno rozwiązanie: $x = - 3.$

B. dwa rozwiązania: $x = - 3, x = 0.$

C. trzy rozwiązania: $x = - 3, x = -1, x = 0.$

D. cztery rozwiązania: $x = - 3, x = -1, x = 0, x = 1.$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 8 (0-1) Zad. 8 Wrzesień CKE 2022 Równania i nierówności Wartość bezwzględna

Spośród nierówności A-D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

A. $| x + 2| \le 2$ B. $| x - 2| \le 2$ C. $|x + 2 | \ge 2$ D. $|x - 2 | \ge 2$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Zadanie 9 (0-1) Zad. 9 Wrzesień CKE 2022 Układy równań

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę $1040$ zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach $20$ zł, $50$ zł oraz $100$ zł. Banknotów $100-$ złotowych było dwa razy więcej niż $50-$ złotowych, a banknotów $20-$ złotowych było o 2 mniej niż $50-$ złotowych.

Niech $x$ oznacza liczbę banknotów $50-$ złotowych, a $y$ – liczbę banknotów $20-$ złotowych, któr otrzymał ten klient.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Poprawny układ równań prowadzący do obliczeń liczb $x$ i $y$ to

A. $\left\{{\begin{array}120y + 50x + 100 \cdot 2x = 1040\\y = x -2 \end{array}\right$

B. $\left\{{\begin{array}120y + 50x + 50x \cdot 2 = 1040\\y = x -2 \end{array}\right$

C. $\left\{{\begin{array}120y + 50x + 100 \cdot 2x = 1040\\x = y -2 \end{array}\right$

D. $\left\{{\begin{array}120y + 50x + 50x \cdot 2 = 1040\\x = y -2 \end{array}\right$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 10.1 (0-1) Zad. 10.1 Wrzesień CKE 2022 Funkcje

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej dla każdego $x \in [-5, 4).$ Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji $f.$

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pokaż odpowiedź

$Y = [-4; 4]$

Zadanie 10.2 (0-1) Zad. 10.2 Wrzesień CKE 2022 Funkcje

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P

Zadanie 10.3 (0-1) Zad. 10.3 Wrzesień CKE 2022 Funkcje

Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[-4, 0]$ jest równa

A. $(-4)$ B. $(-3)$ C. $(-2)$ D. $0$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Zadanie 11 (0-1) Zad. 11 Wrzesień CKE 2022 Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są: punkt $A = (8, 11)$ oraz okrąg o równaniu $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25.$

Odległość punktu $A$ od środka tego okręgu jest równa

A. $25$ B. $13$ C. $\sqrt{125}$ D. $\sqrt{265}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 12.1 (0-1) Zad. 12.1 Wrzesień CKE 2022 Funkcje Funkcja liniowa

Basen ma długość $25$ m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa $1,2$ m.
Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.
Głębokość $y$ basenu zmienia się wraz z odległością $x$ od brzegu w sposób opisany funkcją:

Odległość $x$ jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkosci $x$ i $y$ są wyrażone w metrach.

Najgłębsza głębokość basenu jest równa

A. $5,4$ m B. $3,6$ m C. $2,2$ m D. $1,8$ m

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 12.2 (0-2) Zad. 12.2 Wrzesień CKE 2022 Funkcje Funkcja liniowa

Odległość $x$ jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkosci $x$ i $y$ są wyrażone w metrach.

Oblicz wartość współczynnika $a$ oraz wartość współczynnika $b.$

Pokaż odpowiedź

$a = 0,04; b = 1,2$

Zadanie 13.1 (0-1) Zad. 13.1 Wrzesień CKE 2022 Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x-1)^2 + 2.$

Wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

A. $(1, 2)$ B. $(-1, 2)$ C. $(1, -2)$ D. $(-1, -2)$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 13.2 (0-1) Zad. 13.2 Wrzesień CKE 2022 Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x-1)^2 + 2.$

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

A. $(-\infty,2]$ B. $(-\infty,2)$ C. $(2, +\infty)$ D. $[2, +\infty)$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 14.1 (0-1) Zad. 14.1 Wrzesień CKE 2022 Ciągi

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \frac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Pięćdziesiątym wyrazem ciągu $a_n$ jest

A. $\frac{7^{49}}{3}$ B. $\frac{7^{50}}{3}$ C. $\frac{7^{51}}{3}$ D. $\frac{7^{52}}{3}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 14.2 (0-1) Zad. 14.2 Wrzesień CKE 2022 Ciągi

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \frac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F

Zadanie 15 (0-1) Zad. 15 Wrzesień CKE 2022 Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = 3x + b,$ przechodząca przez punkt $A = (-1, 3).$

Współczynnik $b$ w równaniu tej prostej jest równy

A. $0$ B. $6$ C. $(-10)$ D. $8$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 16.1 (0-1) Zad. 16.1 Wrzesień CKE 2022 Ciągi

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n -1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Ciąg $(a_n)$ jest

Pokaż odpowiedź

ODP. A – 3

Zadanie 16.2 (0-1) Zad. 16.2 Wrzesień CKE 2022 Ciągi

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n -1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Najmniejszą wartością $n,$ dla której wyraz $a_n$ jest większy od $25,$ jest

A. $8$ B. $9$ C. $7$ D. $26$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 16.3 (0-1) Zad. 16.3 Wrzesień CKE 2022 Ciągi

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n -1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1.$

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $57$ dla $n$ równego

A. $6$ B. $23$ C. $5$ D. $11$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 17 (0-1) Zad. 17 Wrzesień CKE 2022 Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y),$ dane są:

prosta $k$ o równaniu $y = \frac{1}{2}x + 5$
prosta $l$ o równaniu $y - 1 = -2x$

Proste $k$ i $l$

A. się pokrywają

B. nie mają punktów wspólnych

C. są prostopadłe

D. przecinają się pod kątem $30^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. C

Zadanie 18 (0-1) Zad. 18 Wrzesień CKE 2022 Trygonometria

Wartość wyrażenia $(1 - cos20 ^{\circ}) \cdot (1 + cos20 ^{\circ}) - sin^220 ^{\circ}$ jest równa

A. $(-1)$ B. $0$ C. $1$ D. $20$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 19 (0-1) Zad. 19 Wrzesień CKE 2022 Prawdopodobieństwo

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do kul czerwonych jest równy $4 : 5.$ Z pojemnika losujemy jedną kulę.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. $\frac{4}{9}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $\frac{1}{9}$ D. $\frac{1}{4}$

Pokaż odpowiedź

ODP. A

Zadanie 20 (0-1) Zad. 20 Wrzesień CKE 2022 Planimetria

Punkty $A, B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O.$ Kąt $ABO$ ma miarę $20^{\circ},$ a kąt $OBC$ ma miarę $10^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Miara kąta $ACO$ jest równa

A. $30^{\circ}$ B. $40^{\circ}$ C. $50^{\circ}$ D. $60^{\circ}$

Pokaż odpowiedź

ODP. B

Zadanie 21 (0-2) Zad. 21 Wrzesień CKE 2022 Trygonometria

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $6, 7$ oraz $8.$

Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Zapisz obliczenia

Pokaż odpowiedź

$cos\gamma = \frac{1}{4}$

Zadanie 22 (0-1) Zad. 22 Wrzesień CKE 2022 Planimetria

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $4,$ a bok $BC$ ma długość $4,6.$ Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ takim, że $|AD| = 3,2$ (zobacz rysnek).

Odcinek $CD$ ma długość

A. $\frac{64}{23}$ B. $\frac{16}{5}$ C. $\frac{23}{4}$ D. $\frac{92}{25}$

Pokaż odpowiedź

ODP. D

Zadanie 23 (0-4) Zad. 23 Wrzesień CKE 2022 Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że

przychód $P$ (w złotych) z tygodniowej sprzedaży $x$ wiatraków można opisać funkcją $P(x) = 251x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ wiatraków w ciągu jednego tygodnia można okreslić funkcją $K(x) = x^2 +21x +170.$

Tygodniowo w zakłądzie można wyprodukować co najwyżej $150$ wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków nalezy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów

Pokaż odpowiedź

Przy produkcji 115 wiatraków tygodniowo zysk firmy będzie równy 13 055 zł.

Zadanie 24.1 (0-1) Zad. 24.1 Wrzesień CKE 2022 Statystyka

Firma $F$ zatrudnia $160$ osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy $F,$ którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.