Zbiór zadań CKE

POZIOM PODSTAWOWY (Formuła 2023) 

Zbiór zadań CKE —-> tutaj

Rozwiązania zadań dostępne w playliście –> tutaj

Zadanie 1 (0-2) Zad. 1 Zbiór zadań CKE 2022  Liczby rzeczywiste Dowód algebraiczny

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez   3.

Pokaż odpowiedź

  DOWÓD 

Rozwiązanie

Zadanie 2 (0-1) Zad. 2 Zbiór zadań CKE 2022  Liczby rzeczywiste Wzory skróconego mnożenia

Liczbę a = (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 można zapisać w postaci a = x +y\sqrt{14}, gdzie x\in Z oraz y \in Z.

Uzupełnij poniższe równości. Wpisz właściwe liczby w  wykropkowanych miejscach. 

x = ……….. 

y = …………   

Pokaż odpowiedź

  x = 9, y = 2   

Rozwiązanie

 

Zadanie 3 (0-3) Zad. 3 Zbiór zadań CKE 2022  Liczby rzeczywiste

Rozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:

a \ne 0 oraz b \ne 0 oraz a \sqrt{2} + b \sqrt{3} = 0

Oblicz wartość liczbową wyrażenia \frac{a}{b} + \frac{b}{a} dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, spełniających powyższe warunki.

Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku. 

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    - \frac{5 \sqrt{6}}{6}    

Rozwiązanie

 

Zadanie 4 (0-2) Zad. 4 Zbiór zadań CKE 2022  Liczby rzeczywiste

Dana jest liczba

a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}

Wykaż, że a jest liczbą całkowitą. Zapisz obliczenia. 

Wskazówka: Usuń niewymierności z mianowników. 

Pokaż odpowiedź

  DOWÓD 

Rozwiązanie

 

Zadanie 5 (0-1) Zad. 5 Zbiór zadań CKE 2022  Liczby rzeczywiste

Która z podanych równości (A-D) jest prawdziwa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 

A.    (\sqrt{7} + \sqrt{5})^3 = \sqrt{7^3} + \sqrt{5^3}              B.    \sqrt{ \sqrt{144} + \sqrt{16} } = 2^{\frac{4}{2}}

C.    (\sqrt{2\frac{1}{4}})^3 = 2^{\frac{3}{2}} + (\frac{1}{2})^3                         D.    (\sqrt[3]{64})^{\frac{1}{8}} = 8^3

Pokaż odpowiedź

ODP. B 

Rozwiązanie

 

Zadanie 6 (0-2) Zad. 6 Zbiór zadań CKE 2022  Liczby rzeczywiste

Okres   T drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem

  T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

gdzie l oznacza długość wahadła, a g oznacza przyśpieszenie grawitacyjne. Przyjmij do obliczeń, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi wynosi g_z = 9,81 m/s^2, a przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi g_k - 1,62 m/s^2. Oblicz \frac{T_K}{T_Z} – stosunku okresu drgań tego wahadła, gdyby znajdowało się ono na Księżycu, do okresu drgań tego samego wahadła znajdującego się na Ziemi.  Wynik podaj z dokładnością do 0,01 Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    2,46    

Rozwiązanie

 

Zadanie 7 (0-1) Zad. 7 Zbiór zadań CKE 2022  Liczby rzeczywiste Logarytmy

Wartość wyrażenia   logk + log\frac{1}{100}k^2 - log\frac{1}{10}k^3, gdzie   k>0, jest równa

A.    0                                 B.    1                                              C.    (-1)                                           D.    k

Pokaż odpowiedź

ODP. C 

Rozwiązanie

 

Zadanie 8 (0-2) Zad. 8 Zbiór zadań CKE 2022  Liczby rzeczywiste Logarytmy

Liczby rzeczywiste   x, y, z spełniają następujące warunki:

  x, y, z > 0 oraz   x, y, z \ne 1 oraz   y^z = x

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości

A.    log_x y = z                                             B.    y^{-log_y x} = \frac{1}{x}

C.    log_x z = y                                              D.    y^{log_x y} = x

E.    log_y x = z                                                  F.    z^{-log_x z} = \frac{1}{y}

Pokaż odpowiedź

ODP. B i E   

Rozwiązanie

 

Zadanie 9 (0-1) Zad. 9 Zbiór zadań CKE 2022  Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P   

Rozwiązanie

 

Zadanie 10 (0-1) Zad. 10 Zbiór zadań CKE 2022  Wyrażenia algebraiczne  Wielomiany

Dany jest wielomian

W(x) = x^3 - 9x^2 + 26x -24

który ma trzy pierwiastki całkowite.

Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba

A.    13                                 B.    12                                              C.    7                                           D.    2

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Rozwiązanie

 

Zadanie 11 (0-3) Zad. 11 Zbiór zadań CKE 2022  Wyrażenia algebraiczne

Dane jest wyrażenie

  (\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2} ) : (\frac{a - b}{a^2 - b^2})

gdzie   a \in R,   b \in R,   a \ne b,   a \ne -b.

Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla   a = \frac{2}{\sqrt{3}} oraz   b = - \frac{1}{\sqrt{3}}.

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    \frac {2 \sqrt{3}}{9}    

Rozwiązanie

 

Zadanie 12 (0-2) Zad. 12 Zbiór zadań CKE 2022  Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne

Wyrażenie wymierne   \frac{2}{x - 3} + 5 można przekształcić równoważnie do wyrażenia   \frac{ax + b}{cx + d}, gdzie   a, b, c, d są pewnymi współczynnikami rzeczywistymi.

Wyznacz wartości liczbowe współczynników   a, b, c, d.

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    a = 5, b = -13, c = 1,   d = -3.     

Rozwiązanie

2 

Zadanie 13 (0-1) Zad. 13 Zbiór zadań CKE 2022  Wyrażenia algebraiczne Wielomiany

Dany jest wielomian

  W(x) = x^3 -4x^2 + x + 6 gdzie   x \in R

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. 

Wskazówka: Skorzystaj z definicji podzielności wielomianu   W(x) przez dwumian   ( x- a).

Wielomian   W(x) jest podzielny przez

Pokaż odpowiedź

ODP. A – 1   

Rozwiązanie

 

Zadanie 14 (0-2) Zad. 14 Zbiór zadań CKE 2022  Równania i nierówności Nierówności liniowe

Rozwiąż nierówność. Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność. 

2x \ge \sqrt{5} \cdot x + 3\sqrt{5} - 6

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. – 3     

Rozwiązanie

 

Zadanie 15 (0-2) Zad. 15 Zbiór zadań CKE 2022  Równania i nierówności  Wielomiany

Rozwiąż równanie 

-2x^3 + x^2 +18x - 9 = 0

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    x = 3, x = -3, x = \frac{1}{2}    

Rozwiązanie

 

Zadanie 16 (0-3) Zad. 16 Zbiór zadań CKE 2022  Równania i nierówności  Wielomiany

Rozwiąż równanie 

-x^3 +13x -12 = 0

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    x = -4, x = 1, x = 3    

Rozwiązanie

 

Zadanie 17 (0-4) Zad. 17 Zbiór zadań CKE 2022  Równania i nierówności

Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już 97 spośród 3697 zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał n zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązanych zadań zwiększył o 5, czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o 10 dni.

Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązanych zadań. 

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

ODP. 90 dni     

Rozwiązanie

Zadanie 18 (0-1) Zad. 18 Zbiór zadań CKE 2022  Równania i nierówności

Równanie

\frac{(3x^2 - 6x)(x^2 - 9)}{(x - 2)(x - 3)^2} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych

A.   nie ma rozwiązań                              
B.    ma dokładnie jedno rozwiązanie: x =0
C.   ma dokładnie dwa rozwiązania: x = 0, x = - 3
D.   ma dokładnie cztery rozwiązania: x = 0, x = 2, x = 3, x = -3

Pokaż odpowiedź

ODP. C    

Rozwiązanie

Zadanie 19 (0-2) Zad. 19 Zbiór zadań CKE 2022  Równania i nierówności

Niech \frac{m}{n} będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy 6, a do minownika dodamy 15, jego wartość nie zmieni się.

Oblicz liczby m i n.

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    m = 2, n = 5    

Rozwiązanie

Zadanie 20 (0-2) Zad. 20 Zbiór zadań CKE 2022  Układy równań

Dana jest liczba dwucyfrowa a, w której suma cyfr jest równa 14. Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o 18 mniejszą od liczby sprzed zamiany cyfr. Oblicz liczbę a.    

Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    a = 86    

Rozwiązanie

Zadanie 21 (0-3) Zad. 21 Zbiór zadań CKE 2022  Układy równań

Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była 30 m. Długość każdego skoku psa jest równa 2 m, długość każdego skoku lisa jest równa 1 m. W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy.

Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    120 m   

Rozwiązanie

Zadanie 22 (0-2) Zad. 22 Zbiór zadań CKE 2022  Układy równań

Suma liczb rzeczywistych a i b równa jest 527. Wiemy, że 8\% liczby a jest równe 7,5\% liczby b.

Oblicz liczby a i b. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    a = 255, b = 272    

Rozwiązanie

Zadanie 23 (0-4) Zad. 23 Zbiór zadań CKE 2022  Układy równań

Rozwiąż układ równań \left\{{\begin{array}1x^2 + y^2 -4x +4y - 17 = 0\\2x - y - 1 = 0 \end{array}\right

Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

    \left\{{\begin{array}1x =2\\y = 3 \end{array}\right lub \left\{{\begin{array}1x = -2\\y = -5 \end{array}\right    

Rozwiązanie

Zadanie 24 (0-2) Zad. 24 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje  Funkcja kwadratowa

Dana jest funkcja kwadratowa   f określona wzorem

y = f(x) = x^2 + 5x + 6 gdzie x \in R

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.

1.Postać kanoniczna funkcji f wyraża się wzorem

A.   y = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4}                            
B.  y = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}
C.  y = (x - \frac{1}{4})^2 + \frac{5}{2}
D.  y = (x + \frac{1}{4})^2 - \frac{5}{2}

2.Postać iloczynowa funkcji f wyraża się wzorem

E.   y = (x - 2)(x - 3)                            
F.  y = (x - 2)(x + 3)
G.  y = (x + 2)(x - 3)
H.  y = (x + 2)(x + 3)

Pokaż odpowiedź

   ODP. B i H   

Rozwiązanie

Zadanie 25.1 (0-1) Zad. 25.1 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: f, g, h, s. Największą wartość dla argumentu x = 2 przyjmuje funkcja

A.    f                                 B.    g                                              C.    h                                           D.    s

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Zadanie 25.2 (0-1) Zad. 25.2 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: f, g, h, s. Dla argumentu x = 3 tę samą wartość przyjmują funkcje
A.    f   i s                         B.    s i h                               C.   f i g                   D.   g   i s

Pokaż odpowiedź

ODP. C   

Zadanie 25.3 (0-1) Zad. 25.3 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: f, g, h, s. Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność g(x) > h(x). ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pokaż odpowiedź

    x \in (1; 6)    

Zadanie 26.1 (0-1) Zad. 26.1 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o 0,6^{\circ}C, gdy wysokość wzrasta o 100 m, a gdy wysokość maleje o 100 m – temperatura rośnie o 0,6^{\circ}C. W Zakopanem, które znajduje się na wysokości 1000 metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa 13^{\circ}C. W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F   

Zadanie 26.2 (0-2) Zad. 26.2 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o 0,6^{\circ}C, gdy wysokość wzrasta o 100 m, a gdy wysokość maleje o 100 m – temperatura rośnie o 0,6^{\circ}C. W Zakopanem, które znajduje się na wysokości 1000 metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa 13^{\circ}C. W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach. Niech f(x) = ax + b będzie funkcją opisującą zależność temperatury powietrza od wysokości x n.p.m. w dowolnym punkcie nad Zakopanem. Oblicz wartość współczynnika a i wartość współczynnika b. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    a = -0,006, b = 19  

Zadanie 27 (0-1) Zad. 27 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -2x^2 + bx + c i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla x \in (-4, 2). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P   

Zadanie 28 (0-2) Zad. 28 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje Funkcja kwadratowa

Dana jest funkcja kwadratowa f. Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych (0, 8), a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu x = 4. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest x_1 = 2. Wyznacz i zapisz wzór funkcji y = f(x) w postaci iloczynowej. 

Pokaż odpowiedź

    y = \frac{2}{3}(x - 2)(x - 6)    

Zadanie 29 (0-1) Zad. 29 Zbiór zadań CKE 2022  Funkcje

Aby zaorać pole o powierzchni   P w ciągu   8 godzin, potrzeba trzech ciągników. Przyjmijmy, że każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu może zaorać tę samą powierzchnię pola Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P, P   

Zadanie 30 (0-1) Zad. 30 Zbiór zadań CKE 2022  Ciągi

Dane są liczby:   a = 2\sqrt{2}, b = 4, c = 4\sqrt{2}. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.  Liczby   a, b oraz   c tworzą w podanej kolejności

Pokaż odpowiedź

ODP. B – 3   

Zadanie 31 (0-2) Zad. 31 Zbiór zadań CKE 2022  Ciągi  Ciąg arytmetyczny

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n \ge 1. Jego różnica jest równa 4, a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    a_1 = 2    

Zadanie 32 (0-3) Zad. 32 Zbiór zadań CKE 2022  Ciągi  Ciąg geometryczny

Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{3}, trzeci wyraz tego ciągu jest równy \frac{1}{9}, a suma wszystkich wyrazów to \frac{364}{243}. Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    n = 6    

Zadanie 33 (0-4) Zad. 33 Zbiór zadań CKE 2022  Ciągi  Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny

Liczby x, y, z, których suma jest równa 114, tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego (a_n), gdzie n \ge 1, w którym x = a_1, y = a_4 i z = a_{25}. Oblicz liczby x, y, z. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    x=2, y= 14, z=98 lub  x=38, y= 38, z=38  

Zadanie 34 (0-4) Zad. 34 Zbiór zadań CKE 2022  Ciągi  Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny

Trzy liczby, których suma jest równa 24, tworzą cią arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o 4, 10 i 40,   będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny. Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    50, 8, -34 lub  2, 8, 14  

Zadanie 35.1 (0-1) Zad. 35.1 Zbiór zadań CKE 2022  Ciągi

Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła 300 złotych. Pierwszego dnia każdego miesiąca wpłacała o 25 zł więcej niż w miesiącu poprzednim. Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca 2022 roku.  Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    900 zł   

Zadanie 35.2 (0-2) Zad. 35.2 Zbiór zadań CKE 2022  Ciągi

Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła 300 złotych. Pierwszego dnia każdego miesiąca wpłacała o 25 zł więcej niż w miesiącu poprzednim. Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca 2025 roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota 76 860 złotych.  Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    o 32 zł większą   

Zadanie 36 (0-3) Zad. 36 Zbiór zadań CKE 2022  Trygonometria

Z okna wieży kontroli lotów widać startujący samolot S pod kątem 38^{\circ} do poziomu. Kontroler K znajduje się na wysokości 136 m od płyty lotniska (zobacz rysunek). Oblicz odległość x samolotu S od podstawy W tej wieży.  Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych metrów. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    około 174 metry   

Zadanie 37.1 (0-2) Zad. 37.1 Zbiór zadań CKE 2022  Trygonometria

Dane są dwa trójkąty ABC i ADE o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku A. Ponadto |AB| = 24, |AC| = 10 (zobacz rysunek). Pole trójkąta ADE jest dwukrotnie większe od pola trójkąta ABC. Dwusieczna kąta BAC przecina odcinek DE w punkcie P, takim, że \frac{|DP|}{|PE|} = \frac{3}{4}. Oblicz długości boków AD i AE trójkąta ADE.   Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    |AD| = 6\sqrt{10} i  |AE| = 8\sqrt{10}  

Zadanie 37.2 (0-3) Zad. 37.2 Zbiór zadań CKE 2022  Trygonometria

Dane są dwa trójkąty ABC i ADE o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku A. Ponadto |AB| = 24, |AC| = 10 (zobacz rysunek). Pole trójkąta ADE jest dwukrotnie większe od pola trójkąta ABC. Pole trójkąta ABC jest równe 72. Oblicz długość boku BC trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

    |CB| = 2\sqrt{73}    

Zadanie 38 (0-2) Zad. 38 Zbiór zadań CKE 2022  Planimetria

Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt H jest jego ortocentrum

Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych. 
A.   Punkt O jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta                             
B. Punkt O jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta
C.  Punkt O jest równo oddalony od trzech boków tego trójkata
D. Punkt H jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta
E. Punkt H jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta
F. Punkt H jest równo oddalony tylko od trzech boków tego trójkąta

Pokaż odpowiedź

ODP. B i D     

Zadanie 39 (0-1) Zad. 39 Zbiór zadań CKE 2022  Planimetria

Dany jest ośmiokąt foremny wpisany w okrąg K. Punkty A oraz B są sąsiednimi wierzchołkami ośmiokata oraz \alpha jest kątem między styczną do okręgu K w punkcie A i bokiem AB wielokąta (zobacz rysunek). Miara kąta \alpha jest równa

A.    45^{\circ}                                 B.    30^{\circ}                                              C.    22,5^{\circ}                                           D.    15^{\circ}

Pokaż odpowiedź

ODP. C     

Zadanie 40 (0-1) Zad. 40 Zbiór zadań CKE 2022  Planimetria

Dane są trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| i |\sphericalangle ACB| = 45^{\circ}, oraz kwadrat DEFG o polu równym 1. Wierzchołki E i F kwadratu leżą na ramieniu BC danego trójkąta, wierzchołek G leży na ramieniu AC, a wierzchołek D leży na podstawie AB trójkąta (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P, P   

Zadanie 41 (0-2) Zad. 41 Zbiór zadań CKE 2022  Planimetria

Dane są:

  • okrąg o środku S i promieniu r = 1.
  • prosta k przechodząca przez S i przecinająca okrąg w punktach P i Q.
  • prosta l styczna do danego okręgu w punkcie T.

Prosta k przecina prostą l w punkcie R. Prosta przechodząca przez punkt Q i równoległa do odcinka ST przecina styczną l w punkcie U (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka TU wiedząc, że spełniony jest warunek \frac{|PQ|}{|QR|} = \frac{2}{3}. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    |TU| = \frac{\sqrt{15}}{4}    

Zadanie 42 (0-3) Zad. 42 Zbiór zadań CKE 2022  Planimetria

W wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy KSL o mierze 45^{\circ} wpisano kwadrat ABCD w taki sposób, że wierzchołki A oraz B leżą na promieniu SK, wierzchołek D leży na promieniu SL, a wierzchołek C leży na łuku KL (zobacz rysunek). Oblicz stosunek pola kwadratu ABCD do pola wycinka kołowego KSL. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    \frac{8}{5\pi}    

Zadanie 43 (0-4) Zad. 43 Zbiór zadań CKE 2022  Planimetria

Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, gdzie |AB| > |CD|. Kąt ostry tego trapezu ma miarę 60^{\circ}, a przekątna jest prostopadła do ramienia, którego długość jest równa 6. Oba ramiona tego trapezu przedłużono, otrzymując trapez DCFG podobny do trapezu ABCD (zobacz rysunek). Oblicz pole trapezu DCFG. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    P_{DCFG} = \frac{27\sqrt{3}}{4}    

Zadanie 44 (0-2) Zad. 44 Zbiór zadań CKE 2022  Planimetria

W trójkącie równobocznym o boku długości a poprowadzono dwa odcinki równoległe do jednego z jego boków. Długości tych odcinków są równe b i c, przy czym c < b < a (zobacz rysunek). Odcinki podzieliły trójkąt równoboczny na trzy figury: dwa trapezy i trójkąt. Wykaż, że stosunek pola trapezu o podstawach b i c do pola trapezu o podstawach a i b jest równy \frac{b^2 - c^2}{a^2 - b^2} .  

Pokaż odpowiedź

   DOWÓD   

Zadanie 45 (0-1) Zad. 45 Zbiór zadań CKE 2022  Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), rozważmy dwie proste o równaniach

y = a + b \cdot x oraz y = - \frac{1}{a} - \frac{2}{3}b^2 \cdot x,

gdzie a \ne 0, b \ne 0.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.  Dla a = 2 i b = - \frac{3}{2} rozważane proste są

Pokaż odpowiedź

ODP. B – 3   

Zadanie 46.1 (0-2) Zad. 46.1 Zbiór zadań CKE 2022  Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dany jest trójkąt ABC. Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: A=(-15, -8), B=(-6, 4), C=(-19,-5).

Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

   DOWÓD   

Zadanie 46.2 (0-3) Zad. 46.2 Zbiór zadań CKE 2022  Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dany jest trójkąt ABC. Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: A=(-15, -8), B=(-6, 4), C=(-19,-5). wierzchołki trójkąta ABC są trzema wierzchołkami równoległoboku ABCD. Odcinek AC jest przekątną tego równoległoboku.

Oblicz współrzędne wierzchołka D. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

    D = (-28, -17)    

Zadanie 46.3 (0-1) Zad. 46.3 Zbiór zadań CKE 2022  Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dany jest trójkąt ABC. Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: A=(-15, -8), B=(-6, 4), C=(-19,-5). Punkt S przecięcia środkowych trójkąta ABC ma współrzędne: S = (................;................).

Pokaż odpowiedź

S = (-\frac{40}{3}, -3)    

Zadanie 47 (0-1) Zad. 47 Zbiór zadań CKE 2022  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o równaniu x^2 + y^2 = 2 oraz prosta k o równaniu y = m, gdzie m \in R.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. 

Okrąg O i prosta k mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy m \in .......................

Pokaż odpowiedź

    m \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})    

Zadanie 48 (0-4) Zad. 48 Zbiór zadań CKE 2022  Geometria analityczna

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) , dany jest trójkąt ABC. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = -3x + 6. Wierzchołki A i B leżą – odpowiednio – na osi Oy   oraz Ox. Wierzchołek C ma współrzędne (3, 7).

Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.  

Pokaż odpowiedź

    P = 10  

Zadanie 49 (0-4) Zad. 49 Zbiór zadań CKE 2022  Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (-8, 12) i B = (-2, 4) są końcami cięciwy okręgu O. Środek tego okręgu leży na prostej k o równaniu y = 4x + 2.

Wyznacz współrzędne środka okręgu O i promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

    S = (3, 14) i r = 5\sqrt{5}  

Zadanie 50 (0-3) Zad. 50 Zbiór zadań CKE 2022  Geometria analityczna Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = -x^2 + 2x + 3. Funkcja liniowa g określona jest wzorem g(x) = -x + 5.

Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji y = f(x) oraz funkcji y = g(x). Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    P = (2, 3) i R = (1, 4)  

Zadanie 51 (0-2) Zad. 51 Zbiór zadań CKE 2022  Stereometria  Ostrosłupy

Każda krawędź czworościanu ABCS ma długość a. Punkty D i E są środkami boków – odpowiednio – AC oraz BC (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta DES. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    P = \frac{a^2 \sqrt11}{16}    

Zadanie 52 (0-2) Zad. 52 Zbiór zadań CKE 2022  Stereometria  Ostrosłupy

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości a. Punkty A, B, D i E są wierzchołkami ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni ostrosłupa ABDE. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    P = \frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}    

Zadanie 53 (0-2) Zad. 53 Zbiór zadań CKE 2022  Stereometria  Ostrosłupy Graniastosłupy

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 2 i wysokości 8. Wpisano w niego sześcian w taki sposób, że dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a krawędzie jego górnej podstawy zawierają się w ścianach bocznych ostrosłupa (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. P, F, P   

Zadanie 54 (0-1) Zad. 54 Zbiór zadań CKE 2022  Stereometria  Ostrosłupy Graniastosłupy

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy a oraz wysokości h. Wpisano w niego ostrosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że krawędzie podstawy ostrosłupa i graniastosłupa pokrywają się, zaś górny wierzchołek ostrosłupa jest środkiem podstawy górnej graniastosłupa (zobacz rysunek). Niech F będzie bryła powstałą po wycięciu ostrosłupa z graniastosłupa. Różnica objętości bryły F i objętości ostrosłupa jest równa

A.    \frac{1}{3}a^2h                                 B.    \frac{2}{3}a^2h                                              C.    \frac{1}{3}ah^2                                           D.    \frac{2}{3}ah^2

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Zadanie 55 (0-1) Zad. 55 Zbiór zadań CKE 2022  Stereometria  Ostrosłupy

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS zaznaczono środki krawędzi AB, AC i AS odpowiednio punktami D, E, F (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. F, P   

Zadanie 56 (0-1) Zad. 56 Zbiór zadań CKE 2022  Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których cyfra 5 występuje dokładnie jeden raz, jest

A.    125                                 B.    225                                              C.    280                                           D.    300

Pokaż odpowiedź

ODP. B 

Zadanie 57 (0-1) Zad. 57 Zbiór zadań CKE 2022  Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3   jest

A.    3                                 B.    5                                              C.    6                                           D.    10

Pokaż odpowiedź

ODP. C 

Zadanie 58 (0-1) Zad. 58 Zbiór zadań CKE 2022  Kombinatoryka

Na dwóch półkach ustawiono 9 książek: 4 biograficzne i 5 fantasy. Ustawiono je w taki sposób, aby na każdej półce znalazły się książki wyłącznie jednego rodzaju. Wszystkich sposobów ustawienia książek przy zadanym warunku jest:

A.    4! \cdot 5! \cdot 2                                 B.    4! \cdot 5!                                              C.    4 \cdot 5                                           D.    4 \cdot 5 \cdot 2

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Zadanie 59 (0-1) Zad. 59 Zbiór zadań CKE 2022  Kombinatoryka

Firma krawiecka produkuje prostokątne dwukolorowe obrusy w jednakowym rozmiarze. Każdy obrus jest zszyty z trzech pasów materiału tej samej szerokości (zobacz rysunek). Zewnętrzne pasy są w tym samym kolorze. Cały obrus jest obszyty lamówką w jednym kolorze. W firmowym magazynie materiały są dostępne w 5 kolorach, a lamówka – w 3 kolorach. Obrusy uznajemy za różne, gdy różnią się kolorem lamówki lub kolorem pasów zewnętrznych, lub kolorem pasa wewnętrznego. Liczba wszystkich różnych obrusów, które firma może produkować, jest równa

A.    4 \cdot 5 \cdot 3                                 B.    5 \cdot 5 \cdot 3                                              C.    5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3                                           D.    5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3

Pokaż odpowiedź

ODP. A 

Zadanie 60 (0-2) Zad. 60 Zbiór zadań CKE 2022  Kombinatoryka

Do dyspozycji są dwa puste pojemniki oraz pięć kul. Każdą z kul należy umieścić w pojemniku. Liczba wszystkich różnych rozmieszczeń tych kul zależy od cech kul i pojemników. W poniższej tabeli w lewej kolumnie podano cechy obiektów (kul i pojemników). Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź wybraną spośród A-F.  A.    6                                                                    B.    2 \cdot 5 C.    2^4                                                               D.    3 E.    2^5                                                               F.    5^2

Pokaż odpowiedź

ODP. E, C, A, D   

Zadanie 61 (0-1) Zad. 61 Zbiór zadań CKE 2022  Statystyka

Średnia arytmetyczna wieku czterech kobiet jest równa 24 lata. Średnia arytmetyczna wieku sześciu mężczyzn jest równa 26 lat. Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób jest równa

A.    25                                 B.    25,2                                              C.    24,9                                           D.    25,5

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Zadanie 62 (0-1) Zad. 62 Zbiór zadań CKE 2022  Statystyka

Mediana zestawu sześciu liczb 1, 2, 3, 4, 5, 2x jest równa 3. Liczba x jest równa

A.    1                                 B.    1,5                                              C.    2                                           D.    3

Pokaż odpowiedź

ODP. B   

Zadanie 63 (0-1) Zad. 63 Zbiór zadań CKE 2022  Prawdopodobieństwo

Marek ma   3 koszulki w kolorach czerwonym, niebieskim i białym. Darek ma   5 koszulek w kolorach czerwonym, białym, zielonym, żółtym i szarym. Chłopcy umówili się, że następnego dnia każdy z nich założy wybraną w sposób losowy jedną ze swoich koszulek. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że następnego dnia chłopcy założą koszulki w tym samym kolorze, jest równe

A.    \frac{2}{15}                                 B.    \frac{3}{5}                                              C.    \frac{2}{5}                                           D.    \frac{4}{15}

Pokaż odpowiedź

ODP. A   

Zadanie 64 (0-1) Zad. 64 Zbiór zadań CKE 2022  Prawdopodobieństwo

Dany jest pięciokąt foremny ABCDE. Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki tego pięciokąta. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane wierzchołki będą końcami przekątnej pięciokąta ABCDE, jest równe

A.    \frac{3}{10}                                 B.    \frac{3}{5}                                              C.    \frac{2}{5}                                           D.    \frac{1}{2}

Pokaż odpowiedź

ODP. D   

Zadanie 65 (0-1) Zad. 65 Zbiór zadań CKE 2022  Prawdopodobieństwo

Ze zbioru pięciu liczb  { 1, 2, 3, 4, 5 }  losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 

Pokaż odpowiedź

ODP. F, F   

Zadanie 66 (0-3) Zad. 66 Zbiór zadań CKE 2022   Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Firma handlowa ustaliła, że liczba sprzedanych przez nią egzemplarzy gry komputerowej w ciągu każdego tygodnia zależy od jej ceny. Liczbę sprzedanych egzemplarzy opisuje funkcja   f(x) = 2400 - 15x, gdzie   x oznacza cenę jednostkową gry.

Jaka powinna być cena jednostkowa, aby tygodniowy przychód   P ze sprzedaży gry był największy? Oblicz ten największy przychód. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Przyjmij, że przychód jest iloczynem liczby sprzedanych gier oraz ceny jednostkowej tej gry.

Pokaż odpowiedź

    P(80) = 96 000    

Zadanie 67 (0-4) Zad. 67 Zbiór zadań CKE 2022   Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dany jest prostokąt   PQRS o bokach długości   |PQ| = |SR| = 10 oraz   |PS| = |QR| = 6. Na bokach   PQ, QR, RS, SP obrano odpowiednio punkty   A, B, C, D takie, że   |AQ| = |BR| = |CS| = |DP| = x oraz   x \ge 3 (zobacz rysunek). Wyznacz długość odcinka   x, dla którego pole czworokąta   ABCD jest najmniejsze.  Wyznacz to pole. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    x = 4,   P(4) = 28    

Zadanie 68 (0-4) Zad. 68 Zbiór zadań CKE 2022   Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4. Wpisano w niego prostokąt w taki sposób, że dwa z jego boków zawiera się w przyprostokątnych trójkąta, a jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej (zobacz rysunek). Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby jego pole było największe?  Oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia. 

Pokaż odpowiedź

    \frac{3}{2} x 2,   P = 3